Question

Диагональ правильной прямоугольной призмы paвна 4, а наибольшем наклоном она образует угол 30°, найдите объем призмы​

Answer 1

Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник, в случае правильной четырехугольной призмы - основанием призмы является квадрат.

Правильная четырехугольная призма - прямоугольный параллелепипед.

Пусть данная призма - АВСДА₁В₁С₁Д₁

Сделаем рисунок. (Во втором рисунке призма «уложена" на боковую грань для большей наглядности. )

Решение.

АВ ⊥ ВС1 (если прямая перпендикуляра плоскости, она перпендикулярна любой прямой на этой плоскости).

Диагональ АС₁ - гипотенуза прямоугольного треугольника АВС₁

Тогда АВ, сторона основания, противолежащая углу 30º, равна половине АС₁

АВ=ВС=СД=ДА=2

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

D²=а²+b²+c²16=2²+2²+h²⇒

h²=16-8=8

h=√8=2√2

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра ее основания на высоту.

Р=4*2=8 см

Ѕ бок=8*2√2=16√2 см²

-------------.

Высоту призмы можно найти иначе.

а) Сначала найдем диагональ ВС₁ боковой грани- она равна АС₁·cos 30°=(4 √3):2=2 √3

Высоту h трапеции найдем по т. Пифагора из треугольника ВСС₁

h² =(2 √3)²+2²=12-4=8

h=2√2

-------

б) Тот же результат получим, найдя по т. Пифагора из треугольника АВС₁ диагональ ВС₁ боковой грани, затем из прямоугольного треугольника ВСС₁

высоту призмы СС₁.

Надеюсь ты понял(а), не стоит благодарности.

Answer 2

Для вычисления объема правильной прямоугольной призмы, нам нужно знать ее диагональ (в данном случае она равна 4) и угол между одной из боковых граней призмы и ее основанием (в данном случае 30 градусов).

Объем правильной призмы можно вычислить по следующей формуле:

V = A * h

где: V - объем призмы, A - площадь основания призмы, h - высота призмы.

Для начала, давайте найдем площадь основания призмы. Основание правильной прямоугольной призмы - это прямоугольник, и его площадь можно вычислить как:

A = a * b

где: a - длина одной из сторон основания, b - длина другой стороны основания.

Чтобы найти a и b, давайте воспользуемся информацией о диагонали и угле наклона. Диагональ (4) можно представить как гипотенузу прямоугольного треугольника, в котором один угол равен 30 градусам. Таким образом, мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения a и b.

Поскольку угол 30 градусов относится к малой стороне (a), мы можем использовать синус угла:

sin(30°) = a / 4

Решим это уравнение для a:

a = 4 * sin(30°) a = 4 * 0.5 a = 2

Теперь у нас есть значение a, и мы можем найти b, используя косинус угла:

cos(30°) = b / 4

Решим это уравнение для b:

b = 4 * cos(30°) b = 4 * (√3/2) b = 2√3

Теперь у нас есть значения a и b, и мы можем найти площадь основания:

A = a * b A = 2 * 2√3 A = 4√3

Теперь у нас есть площадь основания (A) и нам нужно знать высоту (h) призмы. В этом случае высота равна диагонали, которая равна 4.

Теперь мы можем найти объем призмы:

V = A * h V = (4√3) * 4 V = 16√3

Таким образом, объем правильной прямоугольной призмы равен 16√3.