Question

Помогите! У коло радіуса 3 вписано правильний трикутник. На його висоті як на стороні побудовано інший правильний трикутник, у який також вписано коло. Знайдіть його радіус.

Answer 1

Позначимо за r радіус вписаного кола в початковий правильний трикутник. Тоді довжина сторони цього трикутника дорівнює 2r√3 (бо трикутник є правильним, тому відстань від центра до кожної вершини дорівнює r, а висота дорівнює 3r, тому за теоремою Піфагора довжина сторони дорівнює 2r√3).

Оскільки на висоті цього трикутника побудовано інший правильний трикутник, то радіус кола, вписаного в цей другий трикутник, дорівнює половині висоти цього трикутника. Висота другого трикутника є більшою від висоти першого трикутника в √3 раз, тому радіус кола, вписаного в другий трикутник, дорівнює r/2√3.

Отже, радіус вписаного кола в другий трикутник дорівнює r/2√3.

Answer 2

Спершу ми можемо знайти радіус внутрішнього кола, вписаного в перший правильний трикутник (коло радіуса 3).

1. У правильному трикутнику коло вписане, і центр кола співпадає з центром трикутника. Тому радіус внутрішнього кола буде відстанню від центру трикутника до одного з його вершин. У правильному трикутнику ця відстань можна знайти, розділивши трикутник на два 30-60-90 трикутники.

2. Довжина висоти правильного трикутника рівна $h = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ (бо він є 30-60-90 трикутником).

Тепер ми знаємо радіус внутрішнього кола і можемо використовувати його для побудови іншого правильного трикутника.

3. Також, центр другого кола буде розташованим на відстані $h$ від основи висоти першого трикутника.

4. Зараз ми можемо застосувати теорему Піфагора для знаходження сторони іншого правильного трикутника. Ми маємо відрізок довжиною $h$ як одну зі сторін (це висота першого трикутника), радіус внутрішнього кола як іншу сторону, і радіус другого кола як гіпотенузу.

Отже, маємо: $h^2 + r^2 = R^2$

де $R$ - радіус другого кола, а $r$ - радіус внутрішнього кола.

Підставляючи значення $h = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ і $r = 3$ (розмір внутрішнього кола), ми можемо знайти радіус другого кола $R$:

$\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 3^2 = R^2$ $\frac{27}{4} + 9 = R^2$ $\frac{27 + 36}{4} = R^2$ $\frac{63}{4} = R^2$

Тепер витягнемо квадратний корінь з обох сторін:

$R = \frac{\sqrt{63}}{2}$ $R = \frac{3\sqrt{7}}{2}$

Отже, радіус другого кола (вписаного в інший правильний трикутник) дорівнює $\frac{3\sqrt{7}}{2}$.