Question

В циліндрі паралельно його осі проведений переріз, діагональ якого нахилена до площини основи під кутом φ. Цей переріз перетинає нижню основу по хорді, яка стягує дугу 2α і дорівнює c. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:   Бічна поверхня ціліндра дорівнює добутку довжини круга, який лежить в основах цилиндра, і висоти циліндра. Позначимо в нижній основі циліндра чоти точки : О -центр кола в основі циліндра, А і В - кінці хорди, яка стягує дугу 2∝ , і дорівнює с, а також  точку Д, яка є серединою хорди. Для обчислення площі бічної поверхні ціліндра треба знати R кола та висоту ціліндра. Розглянемо трикутник АОВ, в ньому ОА=ОВ= R, шукаємо  R.  Трикутник АОВ рівнобедрений, медіана ОД в ньому буде також висотою і одночасно бісектрисою за властивостю рівнобедреного трикутника,  значить утворений трикутник АОД буде прямокутним з гострим кутом АОД=∝. Оскільки АД= половині хорди с, то гіпотенуза ОА, яка є також шуканим радіусом, дорівнює частки від ділення с на 2 синуса кута ∝. Тепер знайдемо Н - висоту ціліндра з трикутника, в який ця висота входить, для цього позначимо ще одну точку Р - другий кінец діагоналі заданого в задачі переріза. В трикутнику АРВ катет РВ дорівнює висоті ціліндра за властивостю переріза, який проведено паралельно осі ціліндра.  РВ =добутку с (довжини хорди АВ) на тангенс кута  Фи. Таким чинм площа бічної поверхні дорівнює  частки від ділення добутку ( п на с у квадраті на тангенс кута ФИ) на синус кута ∝ . Це - відповідь.

Answer 2

Позначимо дані:

• Довжина хорди (стягує дугу 2α) як c: c = 2rsin(α), де r - радіус циліндра.
• Кут нахилу діагоналі до площини основи як φ.

Бічна поверхня циліндра складається з двох частин: прямокутної частини (відповідає бічній поверхні прямокутного паралелепіпеда) та двох трапецій (відповідають покриттю верхньої та нижньої основи циліндра).

1. Бічна поверхня прямокутного паралелепіпеда: Площа бічної поверхні прямокутного паралелепіпеда може бути знайдена як сума площ двох прямокутників, кожен з яких є боковою поверхнею циліндра. Периметр основи циліндра - це довжина дуги, яка дорівнює c, тому периметр прямокутника, що входить у склад бокової поверхні, дорівнює c. Ширина прямокутника - це висота циліндра, яка дорівнює r, тому:

Площа одного прямокутника: $S_{\text{прямокутник}} = c \times r = 2r \sin(\alpha) \times r = 2r^2 \sin(\alpha)$.

Отже, площа бічної поверхні прямокутного паралелепіпеда: $2 \times S_{\text{прямокутник}} = 4r^2 \sin(\alpha)$.

2. Бічна поверхня трапеції: Трапеція має дві бічні сторони, які є діагоналями основи циліндра. Розглянемо одну з трапецій.

Довжина однієї діагоналі трапеції (сторона основи циліндра) - це довжина хорди $c = 2r\sin(\alpha)$. Довжина іншої діагоналі - це діаметр основи циліндра, який дорівнює $2r$. Висота трапеції - це висота циліндра, яка дорівнює $r$.

Використовуючи формулу площі трапеції $S_{\text{трапеція}} = \frac{1}{2}(a + b)h$, де $a$ і $b$ - довжини основ трапеції, а $h$ - висота, маємо:

$S_{\text{трапеція}} = \frac{1}{2}(2r\sin(\alpha) + 2r) \times r = r^2(2\sin(\alpha) + 1).$

3. Загальна площа бічної поверхні: Загальна площа бічної поверхні циліндра буде сумою площ бокових поверхонь прямокутного паралелепіпеда та трапеції:

$S_{\text{бічна}} = 4r^2 \sin(\alpha) + 2r^2 (2\sin(\alpha) + 1) = 8r^2 \sin(\alpha) + 2r^2.$