Question

10. У колі із центром О провели діаметри AB та CD. Доведіть, що AC||DB.​

Answer 1

Ответ:

Доказується, що AC паралельна DB.

Кроки доведення:

1. За властивістю кола, будь-які два діаметри кола перпендикулярні один до одного. Отже, ми маємо: AB ⊥ CD.

2. Візьмемо точку М - точку перетину діагоналей AC і BD.

3. Розглянемо трикутники АМС і ВМD. Обидва ці трикутники мають спільну сторону МD та спільний кут при вершині М (90 градусів).

4. За двома спільними сторонами та кутом, трикутники АМС і ВМD є подібними.

5. Внаслідок подібності трикутників, відповідні сторони є пропорційними. Зокрема, AC/DM = AM/MD і BD/DM = BM/MD.

6. Спростивши вирази, маємо AC/DM = AM/MD і BD/DM = BM/MD.

7. З останніх двох рівностей випливає, що AC/DM = BD/DM.

8. Видалимо DM з обох боків рівності, отримаємо AC = BD.

9. Отже, ми отримали, що AC і BD мають однакову довжину.

10. За властивістю паралельних прямих, які мають однакову довжину, AC || DB.

Таким чином, доведено, що AC паралельна DB.

Answer 2

Для доведення, що AC || DB, ми можемо скористатися властивістю кутів на дугах в колі, а саме тим фактом, що кут між діаметром і будь-яким хордою, яка не є діаметром, дорівнює 90 градусів.

Спочатку розглянемо кут між діаметром AB і хордою CD:

1. Нехай точка M - середина діаметра AB.
2. Тоді AM і MB - це радіуси кола, і вони рівні за властивістю діаметру.
3. Також, MC і MD - це радіуси кола, і вони рівні за властивістю діаметру.
4. Оскільки AM = MB і CM = MD, то трикутники AMC і MBD є рівнобедреними.

Тепер ми можемо розглянути кути між хордами та радіусами:

5. У рівнобедрених трикутниках AMC і MBD відповідні кути при основі також рівні.

Отже, кут AMC дорівнює куту MBD.

Але кут AMC - це кут між діаметром AC і хордою CD, і кут MBD - це кут між діаметром BD і хордою CD.

Отже, ми показали, що кут між діаметром AC і хордою CD дорівнює куту між діаметром BD і хордою CD. Це означає, що обидві ці кути дорівнюють один одному, і отже, AC || DB.

Таким чином, ми довели, що AC паралельна DB.