Question

В треугольнике АВC проведены высоты ВB1 и СС1. Докажите, что касательная в точке А к описанной окружности параллельна прямой В1С1, а В1C1 перпендикулярна ОА (О - центр описанной окружности).

Answer 1

Отрезок BC виден из точек B1 и C1 под прямым углом

- точки B C1 B1 C лежат на окружности диаметром BC.

BC1B1C - вписанный четырехугольник.

Внешний угол вписанного четырехугольника равен противолежащему внутреннему.

∠AB1C1=∠ABC

Угол между касательной и хордой равен половине дуги, стягиваемой хордой.

∠KAC=◡AC/2=∠ABC

∠AB1C1=∠KAC => накрест лежащие углы равны, AK||B1C1

Радиус в точку касания перпендикулярен касательной.

OA⊥AK => OA⊥B1C1

Answer 2

Для доказательства этих утверждений рассмотрим треугольник ABC и его описанную окружность с центром в точке O. Мы хотим доказать два утверждения:

1. Касательная в точке A к описанной окружности параллельна прямой B1C1.
2. Прямая B1C1 перпендикулярна OA.

Начнем с первого утверждения:

1. Касательная в точке A к описанной окружности параллельна прямой B1C1.

Для начала, заметим, что угол BAC является прямым углом, так как точка A находится на окружности, а касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу в этой точке. Таким образом, угол BAC = 90 градусов.

Теперь рассмотрим треугольники AB1C1 и ABC. У нас есть:

• Угол BAC = 90 градусов (из предыдущего замечания).
• Угол AB1C1 = 90 градусов (поскольку B1C1 - это высота треугольника AB1C1, а высота перпендикулярна к основанию).

Теперь мы видим, что угол BAC и угол AB1C1 оба равны 90 градусам, поэтому они равны между собой (угол BAC = угол AB1C1). Это означает, что прямые AB1 и AC1 являются касательными к описанной окружности с центром в точке O, так как угол между радиусом (OA) и касательной (AB1 или AC1) в точке касания равен 90 градусов. Следовательно, касательная в точке A к описанной окружности параллельна прямой B1C1.

Теперь перейдем ко второму утверждению:

2. Прямая B1C1 перпендикулярна OA (O - центр описанной окружности).

Для доказательства этого утверждения, рассмотрим треугольник OAB1. У нас есть:

• OA - радиус описанной окружности, и радиус всегда перпендикулярен к касательной в точке касания.
• Угол AB1C1 = 90 градусов (как уже установлено в первом утверждении).

Теперь, поскольку OA и AB1 оба перпендикулярны к AC1 и угол AB1C1 равен 90 градусам, треугольник OAB1 - это прямоугольный треугольник, и OA перпендикулярна AB1.

Таким образом, доказаны оба утверждения:

1. Касательная в точке A к описанной окружности параллельна прямой B1C1.
2. Прямая B1C1 перпендикулярна OA (O - центр описанной окружности).