Question

Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности z=x³+y³ в точке М (1,2,9).

Answer 1

Ответ:

  $\bf z=x^3+y^3\ \ ,\ \ M_0(1;2;9)$

Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f(x;y) , в точке  M₀(x₀;y₀;z₀)  имеет вид:

$\bf z-z_0=f'(x_0;y_0)(x-x_0)+f'_{y}(x_0;y_0)(y-y_0)$   .  

$\bf f'_{x}(x;y)=3x^2\ \ ,\ \ \ f'_{y}(x;y)=3y^2\\\\f'_{x}(1;2)=3\cdot 1^2=3\ \ ,\ \ \ f'_{y}(1;2)=3\cdot 2^2=12\\\\\\z-9=3\cdot (x-1)+12\cdot (y-2)\\\\z-9=3x-3+12y-24\\\\\boxed{\bf \ 3x+12y-z-18=0\ }$  

Канонические уравнения нормали к поверхности, заданной уравнением z = f(x;y) , в точке  M₀(x₀;y₀;z₀), где z₀ = f(x₀;y₀) , имеют вид:

$\bf \dfrac{x-x_0}{f'_{x}(x_0;y_0)}=\dfrac{y-y_0}{f'_{y}(x_0;y_0)}=\dfrac{z-z_0}{-1}$   .

$\boxed{\ \bf \dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-2}{12}=\dfrac{z-9}{-1}\ }$                        

Answer 2

Для нахождения уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $z = x^3 + y^3$ в точке $M(1, 2, 9)$, нам понадобится найти градиент этой функции в данной точке. Градиент поверхности $f(x, y, z) = x^3 + y^3 - z$ определяется как:

$\nabla f(x, y, z) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)$

$= \left(3x^2, 3y^2, -1\right)$

В точке $M(1, 2, 9)$, градиент будет:

$\nabla f(1, 2, 9) = \left(3(1)^2, 3(2)^2, -1\right) = (3, 12, -1)$

Уравнение касательной плоскости:

Уравнение плоскости в трехмерном пространстве имеет вид:

$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$

Где $(x_0, y_0, z_0)$ - координаты точки $M(1, 2, 9)$, а $a, b, c$ - компоненты нормали к плоскости.

Нормаль к плоскости касательной равна градиенту функции в точке $M$, то есть $(3, 12, -1)$.

Таким образом, уравнение касательной плоскости:

$3(x - 1) + 12(y - 2) - (z - 9) = 0$

$3x + 12y - z - 3 - 24 - 9 = 0$

$3x + 12y - z - 36 = 0$

Уравнение нормали:

Так как нормаль к плоскости касательной равна $(3, 12, -1)$, то уравнение нормали можно записать в виде:

$\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{12} = \frac{z - 9}{-1}$