Question

Двугранный угол при боковом ребре правильной четырехугольной пирамиды равен альфа, сторона основания равна 1. Найти объем пирамиды. Помогите, пожалуйста! Со всех сторон пытался подобраться, но не понимаю как воспользоваться углом, что дан в задаче. По сути высоту и сторону грани нужно вычислить, но у меня никак не выходит

Answer 1

Ответ:

Объём пирамиды равен  $\dfrac{1}{6}\sqrt{\dfrac{-(cos\alpha +1)}{cos\alpha } }$    ед³

Объяснение:

Двугранный угол при боковом ребре правильной четырехугольной пирамиды равен α, сторона основания равна 1. Найти объем пирамиды.

Решение

Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD, в основе которой лежит правильный четырехугольник (квадрат) ABCD. Длина его стороны а: АВ=ВС=СD=АD=1.

Диагональ АС = ВD = а√2 = АВ√2= √2

ОD=OA=OB=OC=АС/2 = √2/2 - как половина диагонали квадрата;

Высота SO правильной треугольной пирамиды проецируется в центр квадрата ABCD – точку пересечения диагоналей AC и BD. Поскольку высота SO перпендикулярна плоскости основания (квадрата ADCD), то она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости.

Проводим высоты к боковому ребру SD из вершин А и С пирамиды. Так как ΔASD = ΔCSD (грани правильной пирамиды), то высоты сойдутся в одной точке M. (т.к. ΔАMD=ΔСMD по гипотенузе и катету. катет МD-общий, АD=СD, ∠АМD=∠СМD=90°)

Итак, АМ⊥SD и СМ⊥SD. Тогда ∠АМС - линейный угол двугранного угла при боковом ребре, по условию ∠АМС= α

1) Рассмотрим ΔАMС (АМ=СМ).

По теореме косинусов находим АМ.

АС²=АМ²+СМ²-2·АМ·МС·cos∠AМC

Обозначим АМ=СМ=х, тогда:

(√2)²=х²+х²-2·х·х·cos α

2х²(1- cos α)=2

х²(1- cos α)=1

$AM^2=x^{2} =\dfrac{1}{1-cos\alpha }$

$AM=\sqrt{\dfrac{1}{1-cos\alpha } }$

2) Рассмотрим ΔАMD (∠АMD=90°)

По теореме Пифагора  катет MD:

МD²= АD²-АМ²=

$=1-\dfrac{1}{1-cos\alpha } =\dfrac{1-cos\alpha -1}{1-cos\alpha } =\dfrac{cos\alpha }{cos\alpha -1}$

$MD=\sqrt{\dfrac{cos\alpha }{cos\alpha -1} }$

3) Рассмотрим ΔАMS (∠АMS=90°)

По теореме Пифагора  катет MS:

МS²=AS²-AМ²

Учитывая, что МS=SD-МD, а SD=AS, получаем:

(AS -МD)²= AS²-АМ²

AS²-2·AS·МD+ МD²= AS²-АМ²

-2·AS·МD=-АМ²- МD²

$AS=\dfrac{AM^2+MD^2}{2MD} =\dfrac{AD^2}{2MD} =\dfrac{1}{2MD}=$

$=\dfrac{1}{2\sqrt{\dfrac{cos\alpha }{cos\alpha -1} } } =\dfrac{1}{2} \sqrt{ \dfrac{cos\alpha -1}{cos\alpha }}$

Здесь по теореме Пифагора в прямоугольном ΔAMD гипотенуза AD²=AM²+MD²

4) Рассмотрим ΔАSO (∠AОS=90°).

По теореме Пифагора находим катет SO - высоту пирамиды.

SO²=АS²-АO²=

$=\dfrac{cos\alpha -1}{4cos\alpha } -\dfrac{1}{2} =\dfrac{cos\alpha-1-2cos\alpha }{4cos\alpha } =\dfrac{-(1+cos\alpha )}{4cos\alpha }$

$SO=\dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{-(1+cos\alpha )}{cos\alpha } }$

4) Объём пирамиды находим по формуле:

$\bf V=\dfrac{1}{3} Sh$

где площадь основы пирамиды: S = a² = AD² = 1² = 1

а высота пирамиды: h=SO

Тогда:

$V=\bf \dfrac{1}{6} \sqrt{\dfrac{-(1+cos\alpha )}{cos\alpha } }$      (ед³)

#SPJ1

Answer 2

Давайте рассмотрим вашу задачу шаг за шагом. Правильная четырехугольная пирамида имеет основание в форме квадрата и все боковые грани равны и равнобедренны. Предположим, что вершина пирамиды находится в точке $O$, а основание квадрата лежит в плоскости $ABCD$, где $AB = BC = CD = AD = 1$.

Теперь давайте обратим внимание на боковой угол при одной из боковых граней пирамиды. Этот угол равен $\alpha$. Поскольку боковая грань равнобедренная, то у нас есть две одинаковые прямые треугольные грани с катетом длиной $1$ (половина длины основания) и углом $\alpha/2$. Мы можем воспользоваться функцией тангенса для выражения высоты $h$ этой грани относительно бокового ребра пирамиды:

$$\tan(\alpha/2) = \frac{h}{1/2}.$$

Решая это уравнение относительно $h$, получаем:

$$h = \frac{1}{2} \tan(\alpha/2).$$

Теперь, чтобы найти объем пирамиды, нам нужно умножить площадь основания на высоту пирамиды и разделить результат на $3$. Площадь основания квадрата равна $1^2 = 1$, и высота пирамиды $H$ равна сумме высоты $h$ боковой грани и высоты пирамиды от вершины до основания.

$$H = h + \frac{1}{2}.$$

Таким образом, объем пирамиды $V$ выражается как:

$$V = \frac{1}{3} \times \text{площадь основания} \times \text{высота пирамиды} = \frac{1}{3} \times 1 \times \left(h + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{3} \times \left(\frac{1}{2} \tan(\alpha/2) + \frac{1}{2}\right).$$

Это и есть формула для вычисления объема пирамиды в зависимости от угла $\alpha$. Надеюсь, это поможет вам решить задачу! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задать их.