Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = x² + 2 и у = 0; x = −1; x = 3

Answer 1

Відповідь:     S = 17 1/3 кв. од.

Пояснення:

S = ∫₋₁³( x² + 2 )dx = ( x³/3 + 2x )│₋₁³ = ( 3³/3 + 2 * 3 ) - [(-1 )³/3 + 2*(- 1 )] =

= 9 + 6 - (- 1/3 - 2 ) = 15 + 2 1/3 = 17 1/3 ( кв. од. ) ;  S = 17 1/3 кв. од.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривыми y = x² + 2 и y = 0, а также линиями x = -1 и x = 3, вам нужно найти точки пересечения этих кривых и линий. Затем вы можете найти интеграл площади между этими точками.

1. Начнем с поиска точек пересечения: Первая линия x = -1 не пересекает график y = x² + 2, поэтому точка пересечения с ней - это (-1, 1).

   Для второй линии x = 3: y(3) = (3)² + 2 = 9 + 2 = 11. Точка пересечения с x = 3 - это (3, 11).

2. Теперь, когда у вас есть точки пересечения, вы можете найти площадь между кривыми, используя интеграл:

   Площадь = ∫[a, b] (верхняя кривая - нижняя кривая) dx, где a и b - абсциссы точек пересечения.

   Площадь = ∫[-1, 3] ((x² + 2) - 0) dx Площадь = ∫[-1, 3] (x² + 2) dx

Теперь вычислим этот интеграл:

∫(x² + 2) dx = (1/3)x³ + 2x

Теперь вычислим значение этой функции в пределах от -1 до 3:

Площадь = [(1/3)(3³) + 2(3)] - [(1/3)(-1³) + 2(-1)] Площадь = [(1/3)(27) + 6] - [(1/3)(-1) - 2] Площадь = (9 + 6) - (-1/3 - 2) Площадь = 15 + 7/3

Теперь приведем к общему знаменателю:

Площадь = (45/3 + 7/3) Площадь = 52/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x² + 2 и y = 0, а также линиями x = -1 и x = 3, равна 52/3 квадратных единиц (единицы площади).