Question

Через вершину конуса проведена плоскость под углом альфа к плоскости основания. Эта плоскость пересекает основание конуса по хорде, которую видно из центра основания под углом бета и расстояние до которого от вершины конуса равно h. Найдите площадь сечения конуса данной плоскостью.

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

   У конусі  із вершиною S  і висотою SO січна площина перетнула

   його по хорді АВ  і твірним SA , SB . ∠SCO = α; ∠AOB = β ; SO = h .

   Із прямок. ΔSOС  SC = SO/sinα = h/sinα ;  OC = SOctgα = hctgα .

   SC⊥AB , тому ОС⊥АВ ;  ΔАОВ - рівнобедрений ( ОА = ОВ = R ) ,

   тому  ОС також бісектриса і медіана :  ∠АОС = β/2 ;

   АС = ВС = 1/2 АВ .

   Із прямок. ΔАOС   АС = ОСtgβ/2 = hctgα tgβ/2 .

   AB = 2 * AC = 2* hctgα tgβ/2 .  S пер = S ΔASB = 1/2 *2* hctgα tgβ/2 X

         X h/sinα =  ( h²ctgαtgβ/2 )/sinα ;   S пер = ( h²ctgαtgβ/2 )/sinα .  

   

Answer 2

Для нахождения площади сечения конуса плоскостью, проведенной под углом α к плоскости его основания, нужно рассмотреть эту плоскость и найти её пересечение с поверхностью конуса. Затем, найдя площадь этой фигуры, мы получим ответ.

Давайте разберемся по шагам:

1. Рассмотрим основание конуса. Поскольку плоскость пересекает его по хорде, которую видно из центра основания под углом β, мы можем утверждать, что эта хорда будет делиться на две равные части, так как центр основания конуса равноудален от обоих концов хорды. Обозначим половину длины хорды как "r".

2. Рассмотрим вершину конуса и проведем от нее перпендикуляр к основанию. Эта перпендикулярная линия будет иметь длину "h".

3. Рассмотрим треугольник, образованный перпендикулярной линией, половиной длины хорды "r" и половиной угла β, который равен β/2. Этот треугольник можно рассматривать как прямоугольный треугольник.

4. Найдем длину этой перпендикулярной линии с использованием тригонометрии. Мы знаем, что tg(β/2) = r / h, отсюда r = h * tg(β/2).

5. Теперь, имея длины "r" и "h", мы можем найти площадь треугольника с помощью формулы для площади прямоугольного треугольника: S_triangle = (1/2) * r * h.

6. Наконец, чтобы найти площадь сечения конуса, нужно умножить площадь этого треугольника на 2, так как плоскость делит конус на две симметричные части: S_cone_section = 2 * S_triangle.

Таким образом, площадь сечения конуса данной плоскостью равна:

S_cone_section = 2 * [(1/2) * h * tg(β/2) * h] = h^2 * tg(β/2).

Это и есть искомая площадь сечения конуса.