Question

Складіть рівняння прямих, яким належать медіани і висоти трикутника MNK, якщо M(-4;2), N(2;6),K(8;-4)​

Answer 1

Находить уравнения прямых, которым принадлежат медианы треугольника, будем, используя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки $(x_1;\ y_1)$ и $(x_2;\ y_2)$:

$\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1} =\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}$

В качестве первой точки будем брать вершину треугольника, а в качестве второй точки - середину противоположной стороны. Поскольку координаты середин сторон неизвестны, то найдем их.

Координаты середины отрезка, соединяющего точки $(x_1;\ y_1)$ и $(x_2;\ y_2)$ определяются по формулам:

$x=\dfrac{x_1+x_2}{2} ;\ y=\dfrac{y_1+y_2}{2}$

Середина отрезка MN:

$K_1\left(\dfrac{-4+2}{2} ;\ \dfrac{2+6}{2} \right)\Rightarrow K_1\left(-1 ;\ 4\right)$

Середина отрезка NK:

$M_1\left(\dfrac{2+8}{2} ;\ \dfrac{6+(-4)}{2} \right)\Rightarrow M_1\left(5 ;\ 1\right)$

Середина отрезка MK:

$N_1\left(\dfrac{-4+8}{2} ;\ \dfrac{2+(-4)}{2} \right)\Rightarrow N_1\left(2 ;\ -1\right)$

Составляем уравнения прямых, которым принадлежат медианы треугольника.

Уравнение прямой MM₁:

$\dfrac{y-2}{1-2} =\dfrac{x-(-4)}{5-(-4)}$

$\dfrac{y-2}{-1} =\dfrac{x+4}{5+4}$

$y-2=-\dfrac{x+4}{9}$

$y=2-\dfrac{x}{9}-\dfrac{4}{9}$

$\boxed{y=-\dfrac{x}{9}+\dfrac{14}{9} }$

Уравнение прямой NN₁:

$\dfrac{y-6}{-1-6} =\dfrac{x-2}{2-2}$

$\dfrac{y-6}{-7} =\dfrac{x-2}{0}$

0 в знаменателе подразумевает не деление на 0, а скорее пропорциональность, в данном случае - указывает на то, что коэффициент при "у" в уравнении равен 0:

$x-2=\dfrac{y-6}{-7} \cdot 0$

$x-2=0$

$\boxed{x=2}$

Уравнение прямой KK₁:

$\dfrac{y-(-4)}{4-(-4)} =\dfrac{x-8}{-1-8}$

$\dfrac{y+4}{4+4} =\dfrac{x-8}{-9}$

$\dfrac{y+4}{8} =-\dfrac{x}{9}+\dfrac{8}{9}$

$y+4 =-\dfrac{8x}{9}+\dfrac{64}{9}$

$y =-\dfrac{8x}{9}+\dfrac{64}{9} -4$

$\boxed{y =-\dfrac{8x}{9}+\dfrac{28}{9}}$

Находить уравнения прямых, которым принадлежат высоты треугольника, будем, используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку $(x_0;\ y_0)$ с заданным угловым коэффициентом $k$:

$y-y_0=k(x-x_0)$

Высота перпендикулярна стороне треугольника, поэтому угловые коэффициенты соответствующих уравнений должны быть связаны соотношением:

$k_\perp=-\dfrac{1}{k}$

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две заданные точки $(x_1;\ y_1)$ и $(x_2;\ y_2)$, определяется по формуле:

$k =\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Определим угловые коэффициенты уравнений прямых, которым принадлежат стороны треугольника, а затем определим угловые коэффициенты уравнений прямых, которым принадлежат высоты:

Для стороны MN:

$k=\dfrac{6-2}{2-(-4)} =\dfrac{4}{2+4} =\dfrac{4}{6} =\dfrac{2}{3}$

Тогда, угловой коэффициент уравнения прямой, которой принадлежит высота KK₂:

$k_\perp=-\dfrac{3}{2}$

Для стороны NK:

$k=\dfrac{-4-6}{8-2} =\dfrac{-10}{6} =-\dfrac{5}{3}$

Тогда, угловой коэффициент уравнения прямой, которой принадлежит высота MM₂:

$k_\perp=\dfrac{3}{5}$

Уравнение стороны MK:

$k=\dfrac{-4-2}{8-(-4)} =\dfrac{-6}{8+4} =\dfrac{-6}{12} =-\dfrac{1}{2}$

Тогда, угловой коэффициент уравнения прямой, которой принадлежит высота NN₂:

$k_\perp=2$

Составляем уравнения прямых, которым принадлежат высоты треугольника.

Уравнение прямой MM₂:

$y-2=\dfrac{3}{5} \big(x-(-4)\big)$

$y=\dfrac{3}{5} (x+4)+2$

$y=\dfrac{3x}{5} +\dfrac{12}{5} +2$

$\boxed{y=\dfrac{3x}{5} +\dfrac{22}{5}}$

Уравнение прямой NN₂:

$y-6=2(x-2)$

$y=2x-4+6$

$\boxed{y=2x+2}$

Уравнение прямой KK₂:

$y-(-4)=-\dfrac{3}{2} (x-8)$

$y+4=-\dfrac{3x}{2}+12$

$y=-\dfrac{3x}{2} +12-4$

$\boxed{y=-\dfrac{3x}{2} +8}$

Answer 2

Медіани і висоти трикутника можуть бути знайдені за допомогою координат його вершин. Давайте спочатку знайдемо координати вершин трикутника MNK за заданими точками M(-4;2), N(2;6), і K(8;-4).

Спочатку знайдемо координати векторів MN і MK:

Вектор MN = N - M = (2 - (-4), 6 - 2) = (6, 4) Вектор MK = K - M = (8 - (-4), -4 - 2) = (12, -6)

Тепер ми можемо знайти координати третьої вершини трикутника NKM, використовуючи рівняння прямої, яке проходить через точку N та має напрямок вектора MN:

NKM: x = 2 + 6t y = 6 + 4t

Далі знайдемо рівняння прямих, які є медіанами і висотами. Медіани трикутника перетинаються в одній загальній точці, яку називають центром мас трикутника. Висоти також перетинаються в одній точці, яку називають вершеною трикутника.

1. Медіана з точки M (M до середини NK): Для знаходження середини відрізка NK, обчислимо середнє арифметичне їх координат:

Середина NK: x_mid = (2 + 8) / 2 = 10 / 2 = 5 y_mid = (6 + (-4)) / 2 = 2 / 2 = 1

Таким чином, середина NK має координати (5, 1). Тепер ми можемо скласти рівняння прямої, яка проходить через точку M і середину NK:

Медіана з точки M: x = -4 + t(5 - (-4)) = -4 + 9t y = 2 + t(1 - 2) = 2 - t

2. Медіана з точки N (N до середини MK): Аналогічно обчислимо середину відрізка MK:

Середина MK: x_mid = (-4 + 8) / 2 = 4 / 2 = 2 y_mid = (2 + (-6)) / 2 = -4 / 2 = -2

Таким чином, середина MK має координати (2, -2). Тепер ми можемо скласти рівняння прямої, яка проходить через точку N і середину MK:

Медіана з точки N: x = 2 + t(2 - 2) = 2 y = 6 + t((-2) - 6) = 6 - 8t

3. Висота з точки K (висота на сторону MN): Висота перпендикулярна до сторони MN буде горизонтальною лінією, оскільки сторона MN вертикальна. Таким чином, рівняння висоти з точки K буде:

Висота з точки K: x = 8 (горизонтальна лінія) y = -4 + t(0) = -4

Отже, ми отримали рівняння медіан і висот трикутника MNK:

1. Медіана з точки M: x = -4 + 9t, y = 2 - t
2. Медіана з точки N: x = 2, y = 6 - 8t
3. Висота з точки K: x = 8, y = -4