Question

82. Доведіть, що чотирикутник KLMN з вершинами в точках K(-2; 8), L(3; -3), M(6; 2), N(1; 13) - паралелограм.​

Answer 1

Ответ:

Щоб довести, що чотирикутник KLMN є паралелограмом, нам потрібно перевірити, чи виконуються дві основні умови для паралелограма:

Протилежні сторони паралелограма повинні бути паралельними.

Протилежні сторони паралелограма повинні бути рівними за довжиною.

Спочатку перевіримо, чи протилежні сторони KLMN паралельні. Для цього перевіримо, чи мають вони однаковий нахил.

Перша сторона KL:

K(-2, 8)

L(3, -3)

Нахил KL: (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-3 - 8) / (3 - (-2)) = (-11) / (5) = -11/5.

Друга сторона MN:

M(6, 2)

N(1, 13)

Нахил MN: (y2 - y1) / (x2 - x1) = (13 - 2) / (1 - 6) = (11) / (-5) = -11/5.

Отже, протилежні сторони KL і MN мають однаковий нахил (-11/5), що означає, що вони паралельні.

Тепер перевіримо, чи протилежні сторони KLMN рівні за довжиною.

Довжина сторони KL:

K(-2, 8)

L(3, -3)

Довжина KL = √[(3 - (-2))² + (-3 - 8)²] = √[5² + (-11)²] = √[25 + 121] = √146.

Довжина сторони MN:

M(6, 2)

N(1, 13)

Довжина MN = √[(1 - 6)² + (13 - 2)²] = √[(-5)² + 11²] = √[25 + 121] = √146.

Отже, довжина сторони KL дорівнює довжині сторони MN, і вони рівні.

Отже, ми довели, що в чотирикутнику KLMN протилежні сторони паралельні і рівні за довжиною, що підтверджує, що цей чотирикутник є паралелограмом

Answer 2

Щоб довести, що чотирикутник KLMN є паралелограмом, нам потрібно переконатися, що протилежні сторони паралельні. Паралелограм має дві паралельні пари протилежних сторін.

1. Обчислимо вектори сторін KLMN:

   Вектор KL: KL = L - K = (3 - (-2), (-3) - 8) = (5, -11)

   Вектор MN: MN = N - M = (1 - 6, 13 - 2) = (-5, 11)

2. Тепер перевіримо, чи є ці вектори пропорційними, тобто, чи можна один вектор отримати, помноживши інший на деяке число.

   Для цього порівняємо вектор KL і вектор MN:

   KL = (-5, 11) MN = (-5, 11)

   Ми бачимо, що вектори KL і MN мають однакові компоненти. Таким чином, вони пропорційні один одному з коефіцієнтом 1.

Отже, ми довели, що вектори KL і MN пропорційні один одному з коефіцієнтом 1. Це означає, що сторони KL і MN паралельні одна одній. Аналогічно можна довести, що сторони KM і LN також паралельні одна одній.

Отже, чотирикутник KLMN є паралелограмом, оскільки його протилежні сторони паралельні.