Question

Даю 35 балів. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 10 см і 18 см. Знайдіть відрізки, на які висота, проведена з вершини тупого кута, ділить більшу основу.

Answer 1

Для знаходження відрізків, на які висота, проведена з вершини тупого кута, ділить більшу основу, ми можемо скористатися подібністю трапеції та використати пропорції.

Нехай $h$ - висота трапеції, $a$ і $b$ - довжини меншої і більшої основи відповідно.

Маємо трапецію ABCD, де AB = 10 см, CD = 18 см, BC = a, і AD = b.

З висотою $h$ від вершини тупого кута A до основи CD, утворюємо дві подібні трапеції: ABD і ACB.

Тоді ми можемо записати наступні пропорції:

1. У трапеції ABD: $\frac{h}{a} = \frac{h + x}{b}$, де $x$ - відрізок на більшій основі (AD).

2. У трапеції ACB: $\frac{h}{x} = \frac{h + b}{10}$, де $x$ - відрізок на меншій основі (BC).

З обох пропорцій ми можемо виразити $x$ і вирішити систему рівнянь.

Обчислимо:

1. З першої пропорції: $h \cdot b = a \cdot (h + x)$
2. З другої пропорції: $h \cdot x = 10 \cdot (h + b)$

Розкриваємо дужки та спрощуємо:

1. $h \cdot b = a \cdot h + a \cdot x$
2. $h \cdot x = 10 \cdot h + 10 \cdot b$

Тепер виражаємо $x$ з першого рівняння: $x = \frac{h \cdot b - a \cdot h}{a}$

Підставляємо $x$ в друге рівняння:

$\frac{h \cdot b - a \cdot h}{a} = 10 + \frac{10 \cdot b}{h}$

Розкриваємо дужки та спрощуємо:

$h \cdot b - a \cdot h = 10 \cdot a + 10 \cdot b$

Виражаємо $h$ з рівняння:

$h = \frac{10 \cdot a}{b - a + 10}$

Отже, висота трапеції рівна $h = \frac{10 \cdot a}{b - a + 10}$.

Тепер, щоб знайти відрізок $x$, підставимо вираз для $h$ у вираз для $x$:

$x = \frac{h \cdot b - a \cdot h}{a} = \frac{\frac{10 \cdot a}{b - a + 10} \cdot b - a \cdot \frac{10 \cdot a}{b - a + 10}}{a}$

Спростимо вираз та знайдемо значення відрізку $x$.