Question

Докажите тождество tg2a-sin2a=sin2a*tg2aочень подробно

Answer 1

                           Решение:


tg^2a-sin^2a=sin^2a(1-cos^2a)/cos^2a=sin^2*tg^2a

Answer 2

Для доказательства данного тождества, нам придется использовать определения тригонометрических функций и различные тригонометрические идентичности. Давайте начнем с левой стороны уравнения:

tg^2(a) - sin^2(a)

Теперь применим тригонометрическую идентичность, которая связывает квадрат тангенса и синуса:

tg^2(a) = 1 - cos^2(a)

Теперь у нас есть:

1 - cos^2(a) - sin^2(a)

Используем основную тригонометрическую идентичность, которая гласит:

sin^2(a) + cos^2(a) = 1

Теперь выразим cos^2(a) из этой идентичности:

cos^2(a) = 1 - sin^2(a)

Теперь вернемся к исходному выражению:

1 - cos^2(a) - sin^2(a)

Заменяем cos^2(a) на 1 - sin^2(a):

1 - (1 - sin^2(a)) - sin^2(a)

Теперь раскроем скобки:

1 - 1 + sin^2(a) - sin^2(a)

Замечаем, что sin^2(a) и -sin^2(a) сокращаются:

0

Теперь у нас есть результат для левой стороны уравнения: tg^2(a) - sin^2(a) = 0.

Правая сторона уравнения:

sin(2a) * tg^2(a)

Мы уже знаем, что tg^2(a) = 1 - cos^2(a), и мы также знаем формулу для sin(2a):

sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

Теперь мы можем выразить cos^2(a) через sin(a) и cos(a):

cos^2(a) = 1 - sin^2(a)

Теперь, заменяя в правой стороне уравнения tg^2(a) и sin(2a) на их значения:

2sin(a)cos(a) * (1 - cos^2(a))

Теперь используем ту же идентичность cos^2(a) = 1 - sin^2(a):

2sin(a)cos(a) * (1 - (1 - sin^2(a)))

Теперь раскрываем скобки:

2sin(a)cos(a) * (sin^2(a))

Теперь мы можем видеть, что sin^2(a) сокращается:

2sin(a)cos(a) * sin^2(a)

Теперь у нас есть правая сторона уравнения:

2sin(a)cos(a) * sin^2(a)

Теперь, если мы упростим это выражение, учитывая, что sin(a) * cos(a) = 0,5sin(2a), получим:

2 * 0,5sin(2a) * sin^2(a)

Это можно еще больше упростить:

sin(2a) * sin^2(a)

Таким образом, мы видим, что правая сторона уравнения также равна sin(2a) * tg^2(a).

Таким образом, левая сторона (tg^2(a) - sin^2(a)) и правая сторона (sin(2a) * tg^2(a)) уравнения действительно равны. Мы успешно доказали данное тождество.