Question

Доказать, что медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, ИСПОЛЬЗУЯ ВЕКТОРЫ Буду благодарна.

Answer 1

Пусть О точка пересечения медиан AM, BN, CK
и пусть AO = k*AM (если докажем, что k =2/3, то это и будет означать, что AO = 2 OM)
поскольку для каждой медианы те же рассуждения можно провести, то соотношение везде одинаково. (кроме того, OM = (1-k)AM, OK = (1-k)CK)

Запишем равенство векторов: AO+OK= AK = (AB)/2

kAM +(1-k)CK = AB/2

но AM = (AB+AC)/2, а CK = (CA+CB)/2

подставим:
k*AB/2 + k*AC/2 +(1-k)*CA/2 + (1-k)CB/2= AB/2 (умножим равенство на 2 и раскроем скобки)

kAB + kAC +CA - kCA +CB -kCB = AB
воспользуемся тем, что CB = AB-AC
kAB + kAC + CA -kCA +AB-AC -kAB +kAC = AB

AB сократится, останется
kAC + CA -kCA-AC +kAC = 0. AC ненулевой вектор, значит коэффициент должен равняться 0
(заменим CA на (-AC)), получим

3kAC -2 AC = 0

то есть, 3k =2, k =2/3

Answer 2

Для доказательства этого факта с использованием векторов, давайте представим треугольник с вершинами A, B и C и медианами, исходящими из вершин A, B и C, обозначенными как AM, BN и CO соответственно. Нам нужно показать, что точка пересечения медиан (центр масс треугольника) делит их в отношении 2:1.

1. Начнем с определения медианы. Медиана, исходящая из вершины A, делит сторону BC пополам. Мы можем выразить это векторно следующим образом:

   AM = (AB + AC) / 2

2. Теперь давайте найдем центр масс треугольника. Для этого мы возьмем среднее арифметическое координат всех вершин треугольника:

   Центр масс (G) = (A + B + C) / 3

3. Теперь мы можем найти вектор, соединяющий вершину A и центр масс G:

   GA = G - A = ((A + B + C) / 3) - A

4. Теперь давайте выразим GA в терминах медиан AM:

   GA = (AB + AC + 3A - 3A) / 3 = (AB + AC) / 3

5. Теперь у нас есть выражения для AM и GA. Мы видим, что GA равно (AB + AC) / 3, а AM равно (AB + AC) / 2.

6. Теперь найдем отношение GA к AM:

   GA / AM = ((AB + AC) / 3) / ((AB + AC) / 2) = 2/3

Итак, мы видим, что точка пересечения медиан (центр масс треугольника) делит медиану AM в отношении 2:1. Это доказывает ваше утверждение с использованием векторов.