Question

Найдите значение числа p если а(-4;р), б(1;-изподкорня 3) и их скалярное произведение равно -16

Answer 1

$a*b=a_x*b_x+a_y*b_y\\ 16=-4*1+p*(-\sqrt3)\\ 20=- p\sqrt{3} \\ p=- \frac{20}{ \sqrt{3} }$

Answer 2

Скалярное произведение двух векторов a и b вычисляется следующим образом:

a · b = |a| * |b| * cos(θ),

где |a| и |b| - длины векторов a и b соответственно, а θ - угол между ними.

В данной задаче известно, что скалярное произведение a и b равно -16, и координаты векторов следующие:

a = (-4, p), b = (1, -√3).

Давайте найдем длины векторов a и b:

|a| = √((-4)^2 + p^2) = √(16 + p^2), |b| = √(1^2 + (-√3)^2) = √(1 + 3) = √4 = 2.

Теперь мы можем записать уравнение скалярного произведения:

a · b = |a| * |b| * cos(θ) = (-16) = (2) * (√(16 + p^2)) * cos(θ).

Теперь мы можем решить это уравнение относительно cos(θ):

cos(θ) = -8 / (√(16 + p^2)).

Теперь мы должны найти угол θ, который соответствует этому косинусу. Так как cos(θ) отрицательный, это означает, что угол θ лежит в третьем или четвертом квадранте (где косинус отрицателен).

Также, зная, что cos(π/6) = √3/2 и cos(π/3) = 1/2, мы можем сделать вывод о том, что -√3/2 < cos(θ) < 1/2.

Таким образом, нам нужно найти угол θ в третьем или четвертом квадранте такой, что -√3/2 < cos(θ) < 1/2. Возможные значения угла θ находятся в интервале (π/6, π/3).

Теперь мы можем записать уравнение:

cos(θ) = -8 / (√(16 + p^2)), -√3/2 < -8 / (√(16 + p^2)) < 1/2.

Заметим, что -8 / (√(16 + p^2)) всегда отрицательно, так как cos(θ) отрицательный. Поэтому мы можем игнорировать знаки и записать:

√3/2 > 8 / (√(16 + p^2)) > 1/2.

Теперь найдем значения p, удовлетворяющие этому неравенству:

√3/2 > 8 / (√(16 + p^2)) > 1/2.

Умножим все части неравенства на √(16 + p^2):

(√3/2) * √(16 + p^2) > 8 > (1/2) * √(16 + p^2).

Упростим:

√(3 * (16 + p^2)) > 8 > √(16 + p^2).

Теперь возводим обе стороны в квадрат:

3 * (16 + p^2) > 64 > 16 + p^2.

Упростим дальше:

48 + 3p^2 > 64 > 16 + p^2.

Теперь выразим p^2 в левой и правой части:

3p^2 > 16, p^2 > 16 / 3, p^2 > 16 / 3, p^2 > 16 / 3, p^2 > 16 / 3, p^2 > 16 / 3.

Извлекаем корень из обеих сторон:

|p| > √(16 / 3).

Теперь учтем, что p^2 всегда неотрицательно, поэтому:

p > √(16 / 3) или p < -√(16 / 3).

Теперь найдем численное значение:

p > √(16 / 3) или p < -√(16 / 3).

p > √(16 / 3) или p < -√(16 / 3).

p > √(16 / 3) или p < -√(16 / 3).

p > √(16 / 3) или p < -√(16 / 3).

Итак, значение p будет удовлетворять неравенствам:

p > √(16 / 3) или p < -√(16 / 3).

Таким образом, значение p будет лежать в интервале (-∞, -√(16 / 3)) объединенном с интервалом (√(16 / 3), +∞).