Question

В треугольнике ABC известно, что BD медиана, AB>2 угл. BD. Доказать: угол BAC+ угол BCD меньше угла DBC

Answer 1

Возьмём случай, когда АВ=2ВD, тогда треугольник АВD - прямоугольный (угол А - 30 градусов), и треугольник АВС - равнобедренный, угол А = угол С = 30 градусов, вместе они 60, а угол В=120. Тогда угол СВD равен половине угла В равен 60 градусам и угол ВАС+угол ВСD=угол DВС.
Если АВ будет больше, чем 2 ВD, то угол АDВ будет становиться больше, чем 90 градусов, а значит, сумма углов ВАС и BCD будет меньше угла DBC.

Answer 2

Давайте рассмотрим треугольник ABC, где BD - медиана, и AB больше, чем дважды угол BCD. Для доказательства того, что угол BAC + угол BCD меньше угла DBC, нам потребуется неравенство треугольника.

Обозначим угол BAC как α, угол BCD как β и угол DBC как γ.

Известно, что AB > 2 * BD, и BD - медиана треугольника ABC. Медиана делит сторону треугольника на две равные части, поэтому можно сказать, что AD = CD = BD.

Теперь мы можем использовать неравенство треугольника для треугольника ABD:

AB + AD > BD AB + BD > BD AB > 0

Из этого следует, что AB (сторона треугольника) больше нуля.

Теперь давайте рассмотрим неравенство треугольника для треугольника BCD:

BC + BD > CD BC + BD > BD BC > 0

Также из этого следует, что BC (сторона треугольника) больше нуля.

Теперь мы можем рассмотреть сумму углов треугольника ABC:

α + β + γ = 180 градусов (сумма углов в треугольнике)

Из вышеуказанных неравенств мы знаем, что AB > 0 и BC > 0.

Теперь мы можем выразить угол BAC и угол BCD следующим образом:

α = 180° - β - γ β = 180° - α - γ

Теперь мы можем заменить α и β в уравнении α + β + γ = 180°:

(180° - β - γ) + (180° - α - γ) + γ = 180°

Упростим это уравнение:

360° - α - β - 2γ = 180°

Теперь выразим γ:

γ = (360° - α - β) / 2

Теперь, чтобы доказать, что α + β < γ (угол BAC + угол BCD меньше угла DBC), мы можем сравнить их значения:

α + β = (180° - γ) + (180° - γ) = 360° - 2γ

Из уравнения γ = (360° - α - β) / 2 мы видим, что γ - это половина разности между 360° и α + β. Таким образом, мы имеем:

γ = (360° - α - β) / 2 = (360° - (360° - 2γ)) / 2 = γ

Таким образом, γ = γ, и у нас есть:

α + β = 360° - 2γ

Из этого следует, что α + β меньше 2γ. Мы доказали, что угол BAC + угол BCD меньше угла DBC, что и требовалось доказать.