Question

60 баллов! ABCD — ромб. Угол A = 60°, AB=a. BE перпендикулярно плоскости (ABC), BE = √3/2a. Чему равен угол между плоскостями (ADE) и (ABC). Внимание! Даю много баллов и принимаю только правильные и развернутые ответы. Правильный и подробный обязательно отмечу как лучший))

Answer 1

В плоскости АВС проведем высоту ромба ВН, перпендикулярно AD, точки Е и Н соединим, прямая ЕН лежит в плоскости АED, и она перпендикулярна AD по построению - AD перпендикулярно любой прямой в плоскости EНB, потому что в этой плоскости есть 2 прямые, ей перпендикулярные - BН и EB.  Поэтому угол ЕНВ = Ф - угол между плоскостями АСВ и АЕD. Далее, ВН = АВ*sin(60) = m*корень(3)/2; и мы видим, что прямоугольный треугольник ЕВН - равнобедренный, ЕВ = ВН. А Ф в нем - острый угол. Поэтому Ф = 45 градусов

Answer 2

Для нахождения угла между плоскостями (ADE) и (ABC), мы можем использовать скалярное произведение нормалей этих плоскостей. Нормали - это перпендикуляры к плоскостям, указывающие в направлении "выше" плоскости.

Плоскость (ABC) задана точками A, B и C, и её нормаль будет направлена вдоль векторного произведения векторов AB и AC. Для этого найдем векторы AB и AC:

AB = B - A = (a, 0, 0) AC = C - A = (0, a * cos(60°), a * sin(60°))

Теперь найдем векторное произведение AB и AC:

n_ABC = AB × AC = |i j k | |a 0 0 | |0 a * cos(60°) a * sin(60°)|

Вычислим определитель:

n_ABC = (a * a * cos(60°), -a * a * sin(60°), 0)

Единичный вектор, направленный вдоль нормали к плоскости (ABC), будет:

n_ABC_hat = (cos(60°), -sin(60°), 0)

Теперь рассмотрим плоскость (ADE). Нам дано, что BE перпендикулярно плоскости (ABC), поэтому нормаль к плоскости (ADE) совпадает с нормалью к плоскости (ABC).

Таким образом, нормаль к плоскости (ADE) также будет:

n_ADE_hat = (cos(60°), -sin(60°), 0)

Теперь у нас есть нормали к обеим плоскостям, и мы можем найти угол между ними, используя скалярное произведение:

cos(θ) = n_ABC_hat · n_ADE_hat

cos(θ) = (cos(60°) * cos(60°)) + (-sin(60°) * -sin(60°)) + (0 * 0)

cos(θ) = (cos²(60°) + sin²(60°))

cos(θ) = (1/4 + 3/4)

cos(θ) = 1

Теперь найдем угол θ:

θ = arccos(1)

θ = 0°

Таким образом, угол между плоскостями (ADE) и (ABC) равен 0°.