Question

Биссектрисы углов С и D трапеции ABCD пересекаются в точке E, лежащей на стороне AB. Доказать, что точка P равноудалена от прямых BC , CD , AD

Answer 1

Не понятно какая точка равноудалена: Е или Р, и где находится точка Р тогда.
Расстояние от точки до прямой это перпендикуляр, значит PB перпендикулярна ВС, РМ перпендикулярна AD, PK перпендикулярна CD и надо доказать что PB=PM=PK.
1. Рассмотрим четырёхугольник PKDM.
В нём два треугольника, образованные биссектриссой DP. Угол KPD=90-уголKDP (по свойству но сумме углов прямоугольного треугольника). Угол DPM=90-уголMDP. Но углы KDP и MDP равны, значит углы KPD и DPM равны.
2. Прямоугольный треугольники KPD и MPD равны по острым углам и гипотенузе, следователь PK=PM.
3. Аналогично доказывается что в четырёхугольнике PBCK треугольники CKP и СВР равны и PB=PK.
РВ=РК=РМ ч.т.д.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте рассмотрим следующие шаги:

1. Обозначим точку пересечения биссектрис углов C и D как E.
2. Пусть P - точка на биссектрисе угла C, такая что она также лежит на биссектрисе угла D.

Нам нужно доказать, что точка P равноудалена от прямых BC, CD и AD.

Для начала заметим, что так как P лежит на биссектрисе угла C, она равноудалена от сторон AC и BC трапеции ABCD. То же самое верно и для биссектрисы угла D - точка P равноудалена от сторон AD и CD.

Теперь обратим внимание на следующее:

• Точка P лежит на биссектрисе угла C, поэтому расстояние от P до прямой BC равно расстоянию от P до прямой AC.

• Точка P лежит на биссектрисе угла D, поэтому расстояние от P до прямой CD равно расстоянию от P до прямой AD.

Таким образом, точка P равноудалена от прямых BC, CD и AD, так как она имеет одинаковое расстояние до соответствующих сторон трапеции ABCD, что завершает доказательство.