Question

Висота конуса відноситься до його діаметра як 2:3, а твірна конуса дорівнює 10 см. Знайдіть площу повної поверхні конуса.

Answer 1

Высота (h) конуса относится к его диаметру (d) как 2:3.

   h            2
-------- = --------
   d            3

d = 2R ⇒ 

   h              2
--------- = ----------
  2R            3

Свойство пропорции - произведение крайних членов равно произведению средних

3h = 2R * 2
3h = 4R
h = 4R / 3

В прямоугольном треугольнике SOA:
Гипотенуза AS = L = 10 см
Катет AO = R
Катет SO = h = 4R / 3

По теореме Пифагора:
AO² + SO² = AS²
R² + h² = L²
R² + (4R / 3)² = 10²

          16R²
R² + ------------- = 100
           9

   9R² + 16R²
------------------- = 100
         9


25R² = 900
R² = 36
R = 6 (cм)

Площадь основания конуса
Sосн = π * R²
Sосн = π * 6² = 36π (см²)

Площадь боковой поверхности конуса
Sбок = π * R * L
Sбок = π * 6 * 10 = 60π (cм²)

Площадь полной поверхности конуса
Sполн = Sосн + Sбок
Sполн = 36π + 60π = 96π (cм²)

Answer 2

Спершу нам потрібно знайти висоту та радіус конуса, щоб обчислити площу його повної поверхні. Вам дано, що висота конуса відноситься до його діаметра як 2:3. Діаметр конуса дорівнює удвічі радіусу, тобто можемо записати такі співвідношення:

Висота (h) : Радіус (r) = 2 : 3 Діаметр = 2 * Радіус

Ми також знаємо, що твірна конуса (l) дорівнює 10 см. Відомо, що твірна конуса, висота та радіус утворюють прямокутний трикутник, тому за теоремою Піфагора маємо:

твірна^2 = висота^2 + радіус^2 10^2 = h^2 + r^2

Ми маємо систему двох рівнянь з двома невідомими (h та r), яку можна вирішити. Продовжуючи розв'язування, маємо:

З рівняння відношення висоти до радіусу: h = (2/3) * r

Підставляючи це значення в рівняння Піфагора: 10^2 = ((2/3) * r)^2 + r^2

Розв'язавши це рівняння відносно r, ми отримаємо: r ≈ 4.62 см

Підставляючи значення радіусу в рівняння для висоти: h = (2/3) * 4.62 ≈ 3.08 см

Тепер, знаючи радіус (r) і висоту (h), ми можемо обчислити площу повної поверхні конуса за формулою:

Площа = π * r * (r + l) Площа = π * 4.62 * (4.62 + 10) Площа ≈ 178.73 см²

Отже, площа повної поверхні конуса приблизно дорівнює 178.73 см².