Question

В ΔABC медианы пересекаются в точке M. Прямая PM пересекает сторону AB в точке K, сторону AC в точке L, а точка P лежит на продолжении стороны BC за точку C. Докажите, что 1/MK = 1/ML + 1/MP. Задача мелькала тут 8-9 месяцев назад, но её никто так и не решил. Примечание: использовать теорему Чевы и Менелая.

Answer 1

Положим что Z середина стороны BC .
1)Тогда по теореме Менелая для треугольника PZM секущая AC получаем CZ/PC*PL/ML*AM/AZ=1 , но AZ медиана , значит AM/AZ=3/2, откуда PL=3ML*PC/(2CZ) , значит PM=PL+ML=ML*(3PC+2CZ)/(2CZ) (*1)
2)По теореме Менелая для треугольника BKP секущая AZ получаем BZ/PZ*PM/MK*AK/AB=1
Либо , что тоже самое что
CZ/(PC+CZ) * PM/MK * AK/AB = 1
Откуда MK=PM*(CZ/(PC+CZ))*(AK/AB) (*2)
Выразим соотношение AK/AB через PC и CZ .

3) По той же теореме для треугольника ABC , секущая PK получаем BK/AK * (AL/CL) * (PC/(PC+2CZ)) = 1 .
Но (1/2)*(AL/CL)*PC/(PC+CZ)=1 (теорема Менелая для треугольника ACZ) откуда AL/CL=2(PC+CZ)/PC .
Значит BK/AK=(PC+2CZ)/(2PC+2CZ) , откуда AK/AB=2(PC+CZ)/(3PC+4CZ) .

4) Подставляя (*2) получаем
MK=ML(3PC+2CZ)/(3PC+4CZ) (*3)

5) Из (*1) а именно PM=ML*(3PC+2CZ)/(2CZ) по условию требуется доказать что 1/ML+1/MP=1/MK подставим
1/ML+2CZ/(ML*(3PC+2CZ)) = (3PC+4CZ)/(ML*(3PC+2CZ))= 1/MK
Откуда MK=ML(3PC+2CZ)/(3PC+4CZ)
А это и есть (*3) доказанная ранее.

Answer 2

Давайте рассмотрим данную геометрическую ситуацию и докажем данное утверждение с использованием теоремы Чевы и Менелая.

Дано:

• ΔABC - треугольник.
• M - точка пересечения медиан.
• PM пересекает AB в точке K, AC в точке L.
• Точка P лежит на продолжении стороны BC за точку C.

Нам нужно доказать, что 1/MK = 1/ML + 1/MP.

Для начала, давайте воспользуемся теоремой Менелая для треугольника ABC и линии PM:

Теорема Менелая: Если точки K, L и M делят стороны AB, AC и BC соответственно, то отношение произведений отрезков BK * KA * AL, взятых с учетом направлений, равно 1.

Применяем теорему Менелая к треугольнику ABC и линии PM, где точки K и L делят стороны AB и AC соответственно:

BK * KA * AL = CK * KL * LA

Теперь, давайте выразим CK и KL через отношения медиан. По определению медианы в треугольнике:

2 * CK = AB 2 * AL = AC

Следовательно:

CK = AB / 2 KL = AC / 2

Подставляем это обратно в равенство из теоремы Менелая:

BK * KA * AL = (AB / 2) * (AC / 2) * LA

Теперь, давайте рассмотрим теорему Чевы:

Теорема Чевы: В треугольнике ABC для произвольных точек K, L и M пересечения продолжений сторон треугольника, верно следующее равенство:

AK * BL * CM = BK * KA * AL

Применяем теорему Чевы к треугольнику ABC и точкам пересечения медиан K, L и M:

AK * BL * CM = BK * KA * AL

Так как точка M является пересечением медиан, то CM = AM, следовательно:

AK * BL * AM = BK * KA * AL

Теперь мы имеем следующее равенство:

BK * KA * AL = (AB / 2) * (AC / 2) * LA

Подставляем это в уравнение, полученное из теоремы Менелая:

AK * BL * AM = (AB / 2) * (AC / 2) * LA

Теперь делим обе стороны на AK * BL * AM:

1 = (AB / 2) * (AC / 2) * (LA / (AK * BL * AM))

Так как AK * BL * AM = MK * ML * MP (по определению медианы), то:

1 = (AB / 2) * (AC / 2) * (LA / (MK * ML * MP))

Упрощая:

1/MK = (AB * AC) / (4 * LA * MP)

Вспомним, что точка P лежит на продолжении стороны BC за точку C, поэтому AB * AC = AP * BC:

1/MK = (AP * BC) / (4 * LA * MP)

Из условия задачи следует, что AP = AC + CP:

1/MK = ((AC + CP) * BC) / (4 * LA * MP)

1/MK = (AC * BC + CP * BC) / (4 * LA * MP)

1/MK = (AC * BC) / (4 * LA * MP) + (CP * BC) / (4 * LA * MP)

1/MK = 1/ML + 1/MP

Таким образом, мы доказали, что 1/MK = 1/ML + 1/MP, используя теорему Чевы и Менелая.