Question

Через точку K на ребре AD тетраэдра DABC проведено сечение параллельно грани ABC. Площадь сечения равна 27, AK:KD=1:3.Найдите площадь грани ABC.

Answer 1

Так как тетраэдр - правильная треугольная пирамида, то в сечении, параллельном основанию ( как и само основание) - правильный (то есть равносторонний) треугольник.
Треугольник в сечении и треугольник основания пирамиды подобны ( это следует из параллельности сечения основанию).
Площади подобных фигур относятся как квадраты сходственных сторон.
В соответствии с заданием сторона треугольника в сечении равна 3/4 от стороны основания.
Тогда S(АВС) = 27*(16/9) = 48 кв.ед.

Answer 2

Пусть точка E - это точка пересечения сечения через точку K и ребра BC. Так как AK:KD = 1:3, то можно представить AK как 1 единицу и KD как 3 единицы.

Теперь мы можем рассмотреть подобие треугольников AKE и ABC. Так как AE || BC (сечение параллельно грани ABC), то по теореме о параллельных линиях соответственные углы равны, и треугольники подобны. Следовательно, отношение длин сторон треугольников AKE и ABC также равно отношению длин сторон AK и AE.

Мы знаем, что AK:AE = 1:1, так как AK:KD = 1:3 и KD = 3. Таким образом, AK = AE.

Поскольку AK = AE, треугольники AKE и ABC - равнобедренные треугольники. Значит, отрезок KE также равен AK.

Так как AK = KE, мы можем представить AK + KE как AD, то есть AK + AK = AD, что приводит нас к AK = AD/2.

Теперь мы знаем, что AD = 2 * AK = 2 * AE. Поскольку площадь параллелограмма AKEB равна 27 (площадь сечения), а AK = AE, то площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма AKEB:

Площадь ABC = 1/2 * 27 = 13.5.

Таким образом, площадь грани ABC равна 13.5.