Question

Через точку K на ребре АD тетраэдра DABC проведено сечение параллельно грани равна АВС площадь сечения равна 27,АК:КД=1:3.НАЙДИТЕ ПЛОЩАДЬ ГРАНИ АВС

Answer 1

Пусть проведенное сечение пересекает ребра тетраэдра DC и DB в точках M и N соответственно. Значит сечение представляет собой треугольник KMN, параллельный треугольнику АВС и подобен ему в силу параллельности их соответственных сторон. 

Рассмотрим треугольники DKM и DAC. Они подобны, так как КМ║АС. АК:КD=1:3. AK=x, тогда KD=3х. АD=AK+KD = 4x.KD/AD=3/4. Это коэффициент подобия треугольников. Итак, КМ/АС=3/4. => это коэффициент подобия треугольников KMN и АВС. 

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия этих фигур, то есть Skmn/Sabc=(3/4)² и Sabc=16*Skmn/9 = 16*27/9 = 48 ед². 

Ответ: Sabc=48 ед².

Answer 2

Давайте разберемся с задачей.

Итак, у нас есть тетраэдр DABC, и проведено сечение через точку K на ребре AD, параллельно грани ABC. Согласно условию, отношение AK к KD равно 1:3.

Для начала, обозначим точку пересечения сечения и ребра AD за точку M. Тогда мы можем сказать, что:

AK = AM + MK KD = DM + MK

Также, учитывая условие, что AK:KD = 1:3, мы можем записать:

AM + MK : DM + MK = 1 : 3

Теперь, у нас есть информация о площади сечения, которая равна 27, и мы знаем, что сечение параллельно грани ABC. Таким образом, мы можем сказать, что отношение площадей треугольников AMK и DBC равно отношению высот этих треугольников, и оно равно отношению длин соответствующих сторон.

Пусть h₁ - высота треугольника AMK, h₂ - высота треугольника DBC. Тогда:

\( \frac{h₁}{h₂} = \frac{AM}{DM} \) (отношение высот треугольников равно отношению длин соответствующих сторон)

Теперь у нас есть два уравнения:

1. \( \frac{AM + MK}{DM + MK} = \frac{1}{3} \) (из условия AK:KD) 2. \( \frac{h₁}{h₂} = \frac{AM}{DM} \) (из свойства подобия треугольников)

Теперь мы можем выразить AM и MK через неизвестные, но у нас есть еще одна важная деталь - площадь сечения равна 27. Площадь треугольника равна \( \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \). Таким образом, мы можем записать:

\( \text{Площадь AMK} = \frac{1}{2} \times AM \times h₁ \) \( \text{Площадь DBC} = \frac{1}{2} \times DM \times h₂ \)

Сложим площади треугольников и уравняем с площадью сечения:

\( \frac{1}{2} \times AM \times h₁ + \frac{1}{2} \times DM \times h₂ = 27 \)

Теперь у нас есть система уравнений с неизвестными AM, DM, h₁ и h₂:

1. \( \frac{AM + MK}{DM + MK} = \frac{1}{3} \) 2. \( \frac{h₁}{h₂} = \frac{AM}{DM} \) 3. \( \frac{1}{2} \times AM \times h₁ + \frac{1}{2} \times DM \times h₂ = 27 \)

Решение этой системы уравнений позволит нам найти значения AM, DM, h₁ и h₂. После этого мы сможем найти площадь грани ABC, так как она равна площади треугольника DBC.