Question

Высота конуса равна 6 см, угол при вершине осеM вого сечения равен 120°. Найдите: а) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 30°; б) площадь боковой поM верхности конуса.

Answer 1

Треугольник, полученный осевым сечением - равнобедренный (образующие равны). Высота является биссектрисой угла между образующими (120°/2=60°) и делит треугольник на два прямоугольных с углами 30°, 60°, 90°, в которых высота - катет против угла 30°, радиус вращения - катет против угла 60°, образующая - гипотенуза.

Образующая равна
l=6*2=12 см

Радиус вращения равен
r=6√3 см

a) Площадь треугольника по двум сторонам (образующие) и углу между ними:
S=12^2 *sin(30°)/2 =36 (см^2)

б) Площадь боковой поверхности конуса:
S бок= пrl =12*6√3*п =72√3*п (см^2)

-------
Треугольник с углами 30°, 60°, 90°: стороны равны a, a√3, 2a.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся геометрическими свойствами конуса и треугольника.

а) Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 30°:

При прохождении плоскости через две образующие, образуется равнобедренный треугольник с углом при вершине 120° (половина угла сечения конуса) и двумя углами по 30° (половина угла между образующими).

Так как у нас равнобедренный треугольник, то у него основания равны между собой.

Пусть b - длина основания этого треугольника (часть образующей конуса), тогда у нас есть равенство:

b = 6 * sin(30°) = 6 * 0.5 = 3 см

Теперь можем найти площадь треугольника:

S_triangle = (1/2) * b * h = (1/2) * 3 * 6 = 9 см²

Ответ: площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 30°, равна 9 см².

б) Площадь боковой поверхности конуса:

Боковая поверхность конуса представляет собой половину поверхности цилиндра, который получается разверткой конуса. Образовавшийся цилиндр имеет высоту равную высоте конуса (h = 6 см) и радиус равный длине образующей конуса (l).

Для нахождения длины образующей l воспользуемся теоремой косинусов для треугольника с углом 120° при вершине:

l^2 = h^2 + r^2 - 2hr * cos(120°)

l^2 = 6^2 + 6^2 - 2 * 6 * 6 * cos(120°)

l^2 = 36 + 36 - 72 * (-0.5) [так как cos(120°) = -0.5]

l^2 = 36 + 36 + 36 = 108

l = √108 ≈ 10.39 см

Теперь можем найти площадь боковой поверхности цилиндра, которая равна площади боковой поверхности конуса:

S_cylinder = 2 * π * r * h = 2 * π * 6 * 10.39 ≈ 123.55 см²

Ответ: площадь боковой поверхности конуса составляет приблизительно 123.55 см².