Question

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6, а высота – 4. Найдите: апофему пирамиды; площадь боковой поверхности пирамиды.

Answer 1

Пирамида правильная. Значит, основанием данной пирамиды является правильный многоугольник, а вершина  проецируется в центр этого многоугольника.

Апофемой называется высота боковой грани, проведенная из вершины правильного многогранника. 

Центр правильного треугольника - точка пересечения его высот, являющихся в правильном треугольнике медианами и биссектрисами. 

а)

На рисунке в приложении О - центр основания. СН - высота ( медиана). Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Следовательно, отрезок СО=2/3 высоты СН, отрезок ОН=1/3 высоты СН. 

Все углы правильного треугольника равны :180°:3=60°

CН=СВ•sin60°=6•√3/2

CO=6√3/6=√3

 ОН перпендикулярна АВ и является проекцией МН на плоскость АВС. По теореме о трёх перпендикулярах МН⊥АВ. => 

МН высота ∆ АМВ, т.е. апофема данной правильной пирамиды.

Высота пирамиды  перпендикулярна основанию. => МО⊥СН.

Из прямоугольного ∆МОН по т.Пифагора 

МН=√(МО²+НО²)=√(16+3)=√19 (ед. длины)

б) 

Все боковые грани правильной пирамиды - равные  равнобедренные треугольники. => их площади равны. 

S (AMB)=MH•AB:2=√19•6:2=3•√19

S(бок)=3•3√19=9√19 (ед. площади)

Answer 2

Для решения этой задачи, нам потребуется использовать теорему Пифагора для правильного треугольника и формулы для вычисления апофемы и площади боковой поверхности пирамиды.

1. Апофема пирамиды (a): Апофема пирамиды - это расстояние от вершины пирамиды до середины боковой стороны её основания. Для правильной треугольной пирамиды апофему можно вычислить по следующей формуле:

a = √(s^2 + h^2),

где s - длина стороны основания, h - высота пирамиды.

Подставим известные значения: s = 6, h = 4.

a = √(6^2 + 4^2) = √(36 + 16) = √52 ≈ 7.211.

Таким образом, апофема пирамиды составляет примерно 7.211 единиц длины.

2. Площадь боковой поверхности пирамиды: Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти, используя формулу:

S = (p * l) / 2,

где p - периметр основания пирамиды, l - апофема пирамиды.

Для правильного треугольника периметр основания равен 3 * сторона, то есть:

p = 3 * s = 3 * 6 = 18.

Подставим известные значения:

S = (18 * 7.211) / 2 ≈ 65.198.

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды составляет примерно 65.198 квадратных единиц.