Question

В усеченный конус вписан шар, объем которого составляет 6/13 объема конуса. найдите угол между образующей конуса и плоскостью его основания

Answer 1

Объём шара  $V= \frac{4}{3} R^3 \pi .$
Объём усечённого конуса  $V= \frac{1}{3} \pi h(r_1^2+r_2^2+r_1*r_2).$
Обозначим угол между образующей конуса и плоскостью его основания α.
Проведём осевое сечение и получим равнобедренную трапецию с вписанной в неё окружностью.
В этом случае r1 = R*tg(α/2).  r2 = R/(tg(α/2)), r1*r2 = R².
Запишем заданное отношение объёмов:
((4/3)R³π)/((1/3)π*(2R)*(R*tg(α/2))+(R/tg(α/2))+R²) = 6/13.
Приводим к общему знаменателю:
13R²(tg²(α/2)) = 3R²(tg⁴(α/2)) + 3R² + 3R²(tg²(α/2)).
Сокращаем на R² и делаем замену tg²(α/2) = х.
Получаем квадратное уравнение:
3х² - 10х + 3 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-10)^2-4*3*3=100-4*3*3=100-12*3=100-36=64;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√64-(-10))/(2*3)=(8-(-10))/(2*3)=(8+10)/(2*3)=18/(2*3)=18/6=3;x_2=(-√64-(-10))/(2*3)=(-8-(-10))/(2*3)=(-8+10)/(2*3)=2/(2*3)=2/6=1/3.
Получаем 2 решения: tg²(α/2) = 3,      tg(α/2) = √3,
                                     tg²(α/2)  = 1/3,   tg(α/2) = 1/√3.
Отсюда угол равен 120 и 60 градусов, что соответствует острому и тупому углам трапеции в сечении конуса.

Ответ: угол между образующей конуса и плоскостью его основания равен 60 градусов.

Answer 2

Давайте обозначим объем конуса как V_конуса и радиус его основания как R_конуса. Также пусть объем вписанного шара будет V_шара.

Условие гласит, что объем шара составляет 6/13 объема конуса:

V_шара = 6/13 * V_конуса

Мы также знаем формулы для объема конуса и объема шара:

V_конуса = 1/3 * π * R_конуса^2 * h, где h - высота конуса. V_шара = 4/3 * π * R_шара^3

Так как шар вписан в конус, его радиус R_шара равен половине радиуса основания конуса, то есть R_шара = R_конуса/2.

Теперь мы можем объединить эти формулы:

4/3 * π * (R_конуса/2)^3 = 6/13 * 1/3 * π * R_конуса^2 * h

Упростим выражение:

4/3 * π * R_конуса^3 / 8 = 6/13 * 1/3 * π * R_конуса^2 * h

Теперь сократим общие множители:

R_конуса^3 / 2 = 2/13 * R_конуса^2 * h

После сокращения R_конуса^2 на обе стороны уравнения, получим:

R_конуса / 2 = 2/13 * h

Теперь решим уравнение относительно h:

h = 13/4 * R_конуса

Теперь у нас есть выражение для высоты конуса h через его радиус R_конуса.

Чтобы найти угол между образующей конуса и плоскостью его основания, нам нужно найти тангенс этого угла. Тангенс угла наклона (tg α) внутри конуса можно найти, используя соотношение:

tg α = h / R_конуса

Подставим значение h:

tg α = (13/4 * R_конуса) / R_конуса

Теперь сократим R_конуса:

tg α = 13/4

Таким образом, тангенс угла α равен 13/4. Чтобы найти сам угол α, возьмем арктангенс от 13/4:

α = arctan(13/4) ≈ 75.96 градусов.

Таким образом, угол между образующей конуса и плоскостью его основания составляет примерно 75.96 градусов.