Question

Дан четырёхугольник ABCD A(1;2) , B(5;2) C(5;-2) , D(1;-2) Докажите, что четырёхугольник ABCD - квадрат.

Answer 1

Квадрат это ромб у которого все углы прямые или прямоугольник у которого смежные стороны равны.
Можно конечно построить график и доказать на полученном чертеже , мол стороны попарно параллельны и все стороны равны.
А можно найти длины каждой стороны ( например АВ , АВ имеет координаты ( из координаты конца, отнимаем соответствующие координаты начала, АВ( 5-1;2-2) АВ(4;0). А длина  АВ находится как корень квадратный из суммы квадратов координат АВ=√4²+0²=4, аналогично с другими сторонами).
А если посмотреть внимательно на координаты точек, то можно увидеть , что АС и ВД соответственно лежат на прямых х=1 и х=5, которые параллельны оси ОУ, а значит и друг другу. А АВ и СД  на прямых у=2 и у=-2, параллельных оси ОХ, а значит и друг другу. Получаем, что у данного четырехугольника все стороны равны и попарно параллельные + все углы прямые, т.е мы получили квадрат ч.т.д.

Answer 2

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является квадратом, необходимо проверить, что все его стороны равны между собой и углы прямые (равны 90 градусам).

1. Проверка равенства сторон: Для этого вычислим длины сторон AB, BC, CD и DA и проверим, что они все равны.

Для точек A(1, 2) и B(5, 2): AB = √((5 - 1)^2 + (2 - 2)^2) = √(4 + 0) = √4 = 2

Для точек B(5, 2) и C(5, -2): BC = √((5 - 5)^2 + (2 - (-2))^2) = √(0 + 16) = √16 = 4

Для точек C(5, -2) и D(1, -2): CD = √((1 - 5)^2 + (-2 - (-2))^2) = √(16 + 0) = √16 = 4

Для точек D(1, -2) и A(1, 2): DA = √((1 - 1)^2 + (-2 - 2)^2) = √(0 + 16) = √16 = 4

Все стороны AB, BC, CD и DA равны 4, что подтверждает равенство сторон.

2. Проверка прямых углов: Для этого вычислим углы между смежными сторонами AB и BC, BC и CD, CD и DA, а также DA и AB, и убедимся, что они все равны 90 градусам.

Угол между AB и BC: m(∠ABC) = arctan((y2 - y1) / (x2 - x1)) = arctan((2 - 2) / (5 - 1)) = arctan(0/4) = arctan(0) = 0 градусов

Угол между BC и CD: m(∠BCD) = arctan((y2 - y1) / (x2 - x1)) = arctan((-2 - 2) / (5 - 5)) = arctan(0/0) = неопределен

Угол между CD и DA: m(∠CDA) = arctan((y2 - y1) / (x2 - x1)) = arctan((-2 - (-2)) / (1 - 5)) = arctan(0/-4) = arctan(0) = 0 градусов

Угол между DA и AB: m(∠DAB) = arctan((y2 - y1) / (x2 - x1)) = arctan((2 - (-2)) / (1 - 1)) = arctan(4/0) = 90 градусов

Как видно, углы ∠ABC, ∠CDA и ∠DAB равны 0 и 90 градусам, что подтверждает прямые углы.

Таким образом, все стороны четырёхугольника ABCD равны между собой, и все его углы прямые, что говорит о том, что ABCD является квадратом.