Question

Найтт площадь области D с помощью двойного интеграла: D: y=x^2;x+y=6

Answer 1

Посмотрите предложенное решение. Проверка арифметики не проводилась.

Answer 2

Для нахождения площади области D между кривыми y = x^2 и x + y = 6 сначала определим точки их пересечения.

Приравняем уравнения кривых друг другу: x^2 = 6 - x

Теперь приведем уравнение квадратное в стандартной форме: x^2 + x - 6 = 0

Теперь решим уравнение, используя квадратное уравнение или факторизацию: (x + 3)(x - 2) = 0

Отсюда получаем две точки пересечения: x = -3 и x = 2.

Чтобы найти соответствующие значения y, подставим найденные значения x в уравнение y = x^2:

Для x = -3: y = (-3)^2 = 9

Для x = 2: y = 2^2 = 4

Таким образом, точки пересечения кривых D: (-3, 9) и (2, 4).

Теперь, чтобы найти площадь области D с помощью двойного интеграла, возьмем пределы интегрирования для x от -3 до 2, а для y от x^2 до 6 - x.

Таким образом, площадь области D может быть найдена следующим образом:

S = ∬_D dA = ∫_(x=-3)^(x=2) ∫_(y=x^2)^(y=6-x) dy dx

Выполним первое интегрирование по y:

S = ∫_(x=-3)^(x=2) [(6 - x) - x^2] dx

Теперь выполним второе интегрирование по x:

S = ∫_(x=-3)^(x=2) (6 - x - x^2) dx

Проинтегрируем:

S = [6x - (x^2)/2 - (x^3)/3] from -3 to 2

S = [6(2) - (2^2)/2 - (2^3)/3] - [6(-3) - ((-3)^2)/2 - ((-3)^3)/3]

S = [12 - 2 - 8/3] - [-18 - 9/2 + 27/3]

S = [10 + 1/3] - [-18 + 9/2 + 9]

S = 10 + 1/3 + 27/2 - 9

S = 21 + 1/3 + 27/2

S = 21 + 18.5

S = 39.5

Таким образом, площадь области D между кривыми y = x^2 и x + y = 6 равна 39.5 квадратных единиц.