Question

Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см расстояние между диагональю основания и боковым ребром равным 60 градусов. Найти полную поверхность пирамиды

Answer 1

Рассмотрим треугольник АВМ, образованный диагональю основания АВ и двумя боковыми сторонами АМ ВМ. Углы с основанием по 60 градусов, угол при вершине тоже 60. Треугольник равносторонний.
Высота этого треугольника МК=10 см по условию.
АК/МК = tg(30°)
АК = 10tg(30°) = 10/√3 см
АВ = 20/√3 см
Площадь основания - половина произведения диагоналей
S₁ = 1/2*(АВ)² = 1/2*400/3 = 200/3 см²
---
Сторона основания
S₁ = a²
a² = 200/3
a = √(200/3) = 10√(2/3) см
Половина основания
a = 5√(2/3) см
Половину основания и боковую сторону мы знаем, по Пифагору найдём апофему f
f² + (5√(2/3))² = (20/√3)²
f² + 25*2/3 = 400/3
f² = 350/3
f = 5√(14/3) см
Площадь боковой грани
S₂ = 1/2*a*f = 1/2*5√(2/3)*5√(14/3) = 25√7/3 cм²
И полная поверхность
S = S₁ + 4S₂ = 200/3 + 4*25√7/3 = 100/3(2 + √7) см²

Answer 2

Чтобы найти полную поверхность правильной четырехугольной пирамиды, нужно вычислить площадь всех ее поверхностей и затем сложить их.

Пирамида состоит из базы и четырех боковых треугольных граней.

Для начала, определим стороны базы пирамиды, используя расстояние между диагональю основания и боковым ребром равным 60 градусов. Обозначим за "a" длину стороны квадрата (стороны базы), за "b" длину бокового ребра пирамиды и за "h" высоту пирамиды:

1. Высота пирамиды: h = 10 см (дано).

2. Угол между диагональю и боковым ребром: 60 градусов.

3. Для равностороннего треугольника, соотношение между стороной (a) и высотой (h) равно: a = h * √3 a = 10 * √3 см

4. Теперь найдем длину бокового ребра (b) с использованием теоремы косинусов: cos(60°) = (a/2) / b b = (a/2) / cos(60°) b = (10 * √3 / 2) / (1/2) b = 10 * √3 см

Теперь, чтобы найти полную поверхность пирамиды, нужно вычислить площадь каждой грани и сложить их.

1. Площадь базы (площадь квадрата): S_base = a^2 = (10 * √3)^2 = 300 см^2

2. Площадь каждой боковой грани (площадь равностороннего треугольника): S_side = (b * h) / 2 S_side = (10 * √3 * 10) / 2 S_side = 50 * √3 см^2

Теперь сложим площади всех граней, чтобы получить полную поверхность пирамиды:

Полная поверхность = 4 * S_side + S_base Полная поверхность = 4 * (50 * √3) + 300 Полная поверхность = 200 * √3 + 300 Полная поверхность ≈ 548,65 см^2

Ответ: Полная поверхность правильной четырехугольной пирамиды составляет около 548,65 квадратных сантиметров.