Question

Знайти кут між стороною АС і медіаною ВМ трикутника ABC, якщо a (-5. -7. 3) B (4. 2. -2) C (3. 5. -5.)

Answer 1

М-середина АС , координаты середины отрезка = полусумме координат концов отрезка
М((-5+3)/2;(-7+5)/2:(3-5)/2)
M(-1;-1;-1)
найдем координаты вектора ВМ (от координат конца(М) отнимаем координаты начала (В)
___                            ___ 
BM (-1-4;-1-2;-1+2)   ВМ(-5;-3;1)
найдем координаты вектора АС

__                           ___
АС(3+5;5+7;-5-3)   AC(8;12;-8)
                                                                    
по формуле cos угла между векторами (x1;y1;z1) и (х2;у2;z2)
                     x1*х+у1*у2+z1*z2                
cos a = ----------------------------------------- 
             √(x1²+y1²+z1²)*√(x2²+y2²+z2²) 
подставим в эту формулу координаты векторов
__                   __
АС(8;12;-8) и ВМ(-5;-3;1)

            8*(-5)+12*(-3)+(-8)*1                -40-36-8                        -84
cos х= ---------------------------------= --------------------------------=--------------=
            √(8²+12²+8²)√(5²+3²+1²)    √(64+144+64)√(25+9+1)  √(272*35)

        -84             - 84            -21
=-----------------=-------------=-----------
   √(16*17*35)   4√ 17*35    √595

a=arccos(-21/√595)

Answer 2

Для знаходження кута між стороною АС і медіаною ВМ трикутника ABC, спочатку потрібно знайти координати точок M і S.

Медіана трикутника - це лінія, що з'єднує середину сторони трикутника з відповідним вершинами. Точка M - середина сторони BC (точки B і C).

Координати точки M (x, y, z) можна знайти, взявши середнє арифметичне відповідних координат вершин B (x1, y1, z1) і C (x2, y2, z2): x = (x1 + x2) / 2 y = (y1 + y2) / 2 z = (z1 + z2) / 2

Заповнимо відомі координати: B (4, 2, -2) C (3, 5, -5)

Знайдемо координати точки M: x = (4 + 3) / 2 = 7 / 2 = 3.5 y = (2 + 5) / 2 = 7 / 2 = 3.5 z = (-2 + (-5)) / 2 = -7 / 2 = -3.5

Таким чином, координати точки M: M(3.5, 3.5, -3.5).

Тепер нам потрібно знайти координати точки S (x_s, y_s, z_s), яка є перетином медіани BM зі стороною AC. Так як точка S лежить на медіані BM, то вона знаходиться в середині відрізка BM, тому її координати можна знайти так: x_s = (x_B + x_M) / 2 y_s = (y_B + y_M) / 2 z_s = (z_B + z_M) / 2

Підставимо відомі значення: x_s = (4 + 3.5) / 2 = 7.5 / 2 = 3.75 y_s = (2 + 3.5) / 2 = 5.5 / 2 = 2.75 z_s = (-2 + (-3.5)) / 2 = -5.5 / 2 = -2.75

Отже, координати точки S: S(3.75, 2.75, -2.75).

Тепер ми знаємо координати точок M і S, і можемо знайти вектори AM, AC і AS. Відповідний вектор від точки A до точки B можна знайти відніманням координат точок B і A: Vector(AM) = B - A = (4 - (-5), 2 - (-7), -2 - 3) = (9, 9, -5). Vector(AC) = C - A = (3 - (-5), 5 - (-7), -5 - 3) = (8, 12, -8). Vector(AS) = S - A = (3.75 - (-5), 2.75 - (-7), -2.75 - 3) = (8.75, 9.75, 0.25).

Тепер ми можемо знайти косинус кута між векторами AM і AS за допомогою дотичного добутку: cos(θ) = (AM · AS) / (|AM| * |AS|), де AM · AS - дотичний добуток векторів AM і AS (скалярний добуток), |AM| - довжина вектора AM (модуль вектора), |AS| - довжина вектора AS (модуль вектора).

Дотичний добуток двох векторів можна знайти, перемноживши їх відповідні координати і додавши результати: AM · AS = 9 * 8.75 + 9 * 9.75 + (-5) * 0.25 ≈ 174.25.

Довжини векторів можна знайти, використовуючи формулу довжини вектора в тривимірному просторі: |AM| = √(9^2 + 9^2 + (-5)^2) ≈ √(81 + 81 + 25) ≈ √187 ≈ 13.67, |AS| = √(8.75^2 + 9.75^2 + 0.25^2) ≈ √(76.5625 + 95.0625 + 0.0625) ≈ √171.6875 ≈ 13.10.

Тепер можемо обчислити косинус кута: cos(θ) ≈ 174.25 / (13.67 * 13.10) ≈ 174.25 / 179.067 ≈ 0.9732.

Знайдемо сам кут θ, використовуючи обернений косинус (арккосинус): θ ≈ arccos(0.9732) ≈ 12.46°.

Отже, кут між стороною AC і медіаною BM трикутника ABC приблизно дорівнює 12.46°.