Question

Основой пирамиды является правильный треугольник. Радиус окружности, вписанной в основание равен 3 см. Боковые грани пирамиды наклонены к площади основания под углом 30. Найти объем пирамиды.

Answer 1

Правильный треугольник- равносторонний
r( радиус вписанной окружности)=a(сторона треугольн)/2√3
Отсюда а=3*2√3=6√3
Отрезок(x) проведенный из вершины треугольника к центру окружности, и радиус( проведенный под прямым углом к стороне) и половина стороны треугольника  образуют прямоугольный треугольник
x^2(гипотенуза)=( 3√3)^2+3^2=36  x=6
Отрезок(x) будет  также и1 катетом в прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды h и ребром пирамиды
Углы в этом треугольнике 30( по условию) и 90 и 60
По теореме синусов
6/sin60=h/sin30   h пир=2√3
Площадь треугольника =1/2*6√3*6√3*sin60=27√3
Vпир=1/3*27√3*2√3=54

Answer 2

Для того чтобы найти объем пирамиды, нам нужно знать длину стороны правильного треугольника, который является основанием пирамиды. Назовем эту длину "a".

Также, чтобы найти объем, нам нужна высота пирамиды (h). Для этого нам понадобится найти радиус вписанной окружности в боковую грань пирамиды.

Из условия задачи, у нас уже есть радиус вписанной окружности в основание пирамиды, который равен 3 см. Поскольку основание - правильный треугольник, его центр и центр вписанной окружности совпадают. Таким образом, центр вписанной окружности в боковую грань пирамиды будет находиться на высоте равной радиусу окружности (3 см) над основанием пирамиды.

Теперь, давайте найдем высоту боковой грани пирамиды. Она образует прямоугольный треугольник с основанием правильного треугольника и его медианой (радиусом вписанной окружности). В данном случае, этот треугольник - равнобедренный прямоугольный треугольник.

Высота боковой грани (h_бок) выражается через его основание (a) и медиану (m):

h_бок = √(m^2 - (a/2)^2)

где m - медиана (радиус вписанной окружности), равный 3 см.

m = 3 см a = сторона треугольника (основание пирамиды)

Теперь, давайте найдем значение "a". Поскольку у нас правильный треугольник, можем воспользоваться его свойствами.

В правильном треугольнике все стороны равны. Обозначим сторону треугольника через "s":

s = a

Теперь, чтобы найти "a", нужно найти сторону треугольника через радиус вписанной окружности (r). В правильном треугольнике угол между радиусом вписанной окружности и стороной треугольника равен 30 градусам.

Таким образом, у нас есть равнобедренный треугольник, у которого угол при основании 30 градусов, а радиус вписанной окружности равен 3 см.

Для нахождения стороны "a", воспользуемся формулой:

a = 2 * r * cos(30°)

a = 2 * 3 см * cos(30°)

a = 6 см * √3 / 2

a = 3√3 см

Теперь, когда у нас есть сторона "a", мы можем найти высоту боковой грани "h_бок":

h_бок = √(m^2 - (a/2)^2)

h_бок = √(3^2 - (3√3/2)^2)

h_бок = √(9 - (9/4) * 3)

h_бок = √(9 - (27/4))

h_бок = √(36/4 - 27/4)

h_бок = √(9/4)

h_бок = 3/2 см

Теперь, когда у нас есть высота боковой грани "h_бок", мы можем найти объем пирамиды (V) по формуле:

V = (1/3) * S_осн * h_бок

где S_осн - площадь основания, а для правильного треугольника она вычисляется по формуле:

S_осн = (a^2 * √3) / 4

V = (1/3) * ((3√3 см)^2 * √3) / 4 * (3/2 см)

V = (1/3) * (9 * 3√3 см^2 * √3) / 4 * (3/2 см)

V = (1/3) * (27√3 см^2 * √3) / 4 * (3/2 см)

V = (1/3) * (27 * 3 см^2)

V = (1/3) * 81 см^3

V = 27 см^3

Таким образом, объем пирамиды составляет 27 кубических сантиметров.