Question

в параллелограмме abcd угол а острый из вершины а проведены высоты параллелограмма am и ah к сторонам bc и cd соответсвенно,MH:AC=3:4.Найдите отношение площадей треугольников MAH и ABC

Answer 1

Обозначим BCA=x, ACD=y.
т.к. треуг ACH прямоуг, тогда HAC=90-y.
треуг AMC прясоуг, тогда MAC=90-x.
Тогда MAH=(90-y)+(90-x)=180-(x+y).
в треуг ABC угол ABC=180-(x+y) ( т.к сумма углов в треуг 180)
т.о MAH=ABC

Рассмотрим прямоуг треуг AMB и AHD
угол HAD=HAC-CAD=90-y-x
угол MAB=MAC-BAC= 90-x-y
следовательно эти треуг подобны по двум углам ( прямые и HAD=MAB). AB:AD=AM:AH
AD=BC ( т.к параллелограмм) следовательно можно заменить AB:BC=AM:AH
т.о получаем, что треуг ABC и MAH подобны по двум сторонам и углу между ними. отношение площадей подобных треуг равно квадрату коэффициента подобия.
т.е. AM:AB=AH:BC=MH:AC=3:4. (3:4)^2= 9:16


надеюсь, не ошиблась

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойством высот треугольника, а также свойством параллелограмма.

Свойство 1: Высота, опущенная из вершины прямого угла, является средним гармоническим между двумя отрезками, на которые она делит основание. То есть, если H - точка пересечения высоты AH и стороны CD, и MH:HC = 3:4, то HC = (4/7)*AC и MH = (3/7)*AC.

Свойство 2: Площадь параллелограмма равна произведению длины любой из его сторон на высоту, проведенную к этой стороне. Так как AM и AH являются высотами параллелограмма ABCD, то площадь треугольника MAH равна (1/2)AMHC, а площадь треугольника ABC равна (1/2)ABHC.

Теперь найдем отношение площадей треугольников MAH и ABC:

Отношение площадей = Площадь(MAH) / Площадь(ABC) = (1/2)AMHC / (1/2)ABHC = AM / AB

Таким образом, отношение площадей треугольников MAH и ABC равно отношению длин отрезков AM и AB.

Ответ: Отношение площадей треугольников MAH и ABC равно AM / AB.