Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=12+x-x^2, y=0

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=12+x-x^2 и y=0, нужно найти точки их пересечения и затем найти интеграл от разности этих функций по x в пределах этих точек.

1. Найдем точки пересечения: Поскольку y=0, то подставим это значение в первое уравнение и решим уравнение относительно x:

0 = 12 + x - x^2

Теперь приведем уравнение к виду квадратного уравнения:

x^2 - x - 12 = 0

Теперь решим уравнение:

x = (1 ± √(1 + 4*12)) / 2 x = (1 ± √49) / 2 x = (1 ± 7) / 2

Таким образом, получаем две точки пересечения: x₁ = 8/2 = 4 x₂ = -6/2 = -3

2. Теперь найдем значения y в этих точках, подставив их обратно в первое уравнение:

y₁ = 12 + 4 - 4^2 = 12 + 4 - 16 = 0 y₂ = 12 - 3 - (-3)^2 = 12 - 3 - 9 = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: (4, 0) и (-3, 0).

3. Вычислим площадь фигуры ограниченной графиками функций. Это можно сделать при помощи определенного интеграла по переменной x:

Площадь = ∫[a, b] (y₁ - y₂) dx, где a и b - это точки пересечения.

Подставим значения: Площадь = ∫[-3, 4] (12 + x - x^2 - 0) dx Площадь = ∫[-3, 4] (12 + x - x^2) dx

Теперь найдем интеграл:

Площадь = [12x + (x^2)/2 - (x^3)/3] | [-3, 4] Площадь = [(124 + (4^2)/2 - (4^3)/3) - (12(-3) + ((-3)^2)/2 - ((-3)^3)/3)] Площадь = [48 + 8 - 64/3] - [-36 + 9 - 27/3] Площадь = [56 - 64/3] - [-36 - 9 - 9] Площадь = [56 - 64/3] - [-54] Площадь = 56 - 64/3 + 54 Площадь = 110 - 64/3 Площадь = 110 - 21.333... Площадь ≈ 88.67

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=12+x-x^2 и y=0, составляет приблизительно 88.67 квадратных единиц.