Question

11) Докажите, что средние линии треугольника разбивают его на 4 равновеликие части.

Answer 1

Средняя линия параллельна основанию и равна его половине. Параллельные прямые отсекают от угла подобные треугольники. Треугольники, отсекаемые средними линиями подобны исходному, коэффициент подобия 1/2. Центральный треугольник, образованный тремя средними линиями, подобен исходному по пропорциональности трех сторон, коэффициент подобия также 1/2. Подобные треугольники с одинаковым коэффициентом подобия равны между собой по трем сторонам.

Средние линии разбивают треугольник на 4 равных треугольника.

Answer 2

Чтобы доказать, что средние линии треугольника разбивают его на четыре равновеликие части, давайте рассмотрим следующее:

Пусть у нас есть треугольник ABC с вершинами A, B и C, а также средние линии, которые соединяют середины сторон треугольника:

M1 - середина стороны AB; M2 - середина стороны BC; M3 - середина стороны AC.

Итак, нам нужно доказать, что область каждой из четырех частей, на которые разбивают треугольник эти средние линии, одинакова.

Доказательство:

1. Проведем отрезок AM2, соединяющий середину стороны AB (M1) с серединой стороны BC (M2). По определению средней линии этот отрезок делит треугольник на две равновеликие части: треугольники AM1M2 и M1M2C.

2. Аналогично, проведем отрезок BM3, соединяющий середину стороны BC (M2) с серединой стороны AC (M3). Этот отрезок также делит треугольник на две равновеликие части: треугольники BM2M3 и M2M3A.

Таким образом, теперь у нас есть четыре равновеликих треугольника: AM1M2, M1M2C, BM2M3 и M2M3A.

3. Осталось доказать, что треугольники AM1M2 и BM2M3 равновелики. Для этого заметим, что они имеют общую высоту, проходящую через точку M2, а основания этих треугольников равны (по определению средней линии). То есть, AM1 = BM2 и M1M2 = M2M3. Таким образом, треугольники AM1M2 и BM2M3 равновелики по стороне-стороне.

4. Аналогично, можно доказать, что треугольники M1M2C и M2M3A также равновелики.

Таким образом, все четыре части, на которые разбивают треугольник средние линии, равновелики, что и требовалось доказать.