Question

Докажите, что разность сумм углов выпуклых n-угольника и (n – 1)-угольника не зависят от n.

Answer 1

Сумма углов выпуклого n угольника
180°(n-2)
Сумма углов выпуклого (n-1) угольника
180°((n-1)-2)=180°(n-3)
а их разность
180°(n-2)-180°(n-3)=180°(n-2-n+3)=180°
и она не зависит от n

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, предположим, что у нас есть выпуклый n-угольник, у которого углы обозначены как A_1, A_2, ..., A_n, и соответствующий (n – 1)-угольник с углами B_1, B_2, ..., B_{n-1}. Предположим, что нам известны значения этих углов.

Обозначим сумму углов выпуклого n-угольника как S_n и сумму углов (n – 1)-угольника как S_{n-1}.

Тогда S_n = A_1 + A_2 + ... + A_n и S_{n-1} = B_1 + B_2 + ... + B_{n-1}.

Для выпуклого n-угольника верно следующее свойство: сумма углов S_n равна (n-2) углам прямого многоугольника (n-2)π радиан:

S_n = (n - 2)π.

Для (n – 1)-угольника верно аналогичное свойство:

S_{n-1} = ((n - 1) - 2)π = (n - 3)π.

Теперь мы можем рассмотреть разность S_n и S_{n-1}:

S_n - S_{n-1} = (n - 2)π - (n - 3)π.

Мы видим, что независимо от значения n, общий множитель π остается неизменным. Таким образом, разность S_n и S_{n-1} не зависит от n:

S_n - S_{n-1} = π.

Это доказывает, что разность сумм углов выпуклых n-угольника и (n – 1)-угольника не зависит от n и всегда равна π.