Question

Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 75°, а основа – 6 см. Знайдіть довжину радіуса описаного кола.

Answer 1

ΔАВС, АВ = ВС, ∠А = ∠С = 75°, АС = 6, R = ?

Искать R будем из формулы : S = abc/4R, ⇒ R = abc/4S

BH - высота ΔАВС

ВH/AH = tg75°, ⇒ BH = 3tg75°, ⇒S = 1/2*6*3tg75° = 9tg75°

по т. Пифагора:

АВ² = AH² + BH² = 9 + 9tg²75°, ⇒ AB = BC = √( 9 + 9tg²75°)

R = 6*√( 9 + 9tg²75°)*√( 9 + 9tg²75°)/9tg75° = 2(9 + 9tg²75°)/9tg75°=

=2(1 +tg²75°)/tg75°

Ответ: R = 2(1 +tg²75°)/tg75°

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі, ми можемо скористатися властивістю описаного кола навколо рівнобедреного трикутника. Відповідно до цієї властивості, у рівнобедреного трикутника, проведена висота з вершини, що лежить на осі симетрії (основи), є медіаною і бісектрисою одночасно.

Позначимо довжину радіуса описаного кола як R. За тим же принципом, медіана (половина основи) також є висотою і бісектрисою. Отже, утворюється два прямокутних трикутники, в кожному з яких гіпотенуза - це радіус описаного кола R, а одна з катетів - половина основи трикутника, тобто 3 см (половина від 6 см).

Таким чином, за теоремою Піфагора: $R^2 = 3^2 + (\text{висота})^2.$

Для знаходження висоти використаємо геометричний підхід. Розділимо рівнобедрений трикутник на два прямокутних трикутники і отримаємо дві прямі кутові трійки, які будуть мати кут 75°, бо рівнобедрений трикутник має два однакових кути при основі.

Тепер подивимося на одну з цих кутових трійок:

1. 90° (прямий кут, що лежить на основі)
2. 75° (даний нам кут при основі)
3. x (кут, що шукаємо, який є кутом висоти)

З властивості суми кутів в трикутнику, можемо записати:

$90° + 75° + x = 180°.$

Відсилюємо x:

$x = 180° - 165° = 15°.$

Таким чином, ми знайшли, що кут, який утворюється з висотою, дорівнює 15°.

Повертаємося до попереднього рівняння для R:

$R^2 = 3^2 + (\text{висота})^2.$

$R^2 = 3^2 + (\text{tg 15°})^2 \cdot 3^2.$

$R^2 = 9 + (\text{tg 15°})^2 \cdot 9.$

Тепер знаходимо тангенс 15°:

$\text{tg 15°} = 0.2679.$

Підставимо значення тангенса в рівняння:

$R^2 = 9 + 0.2679^2 \cdot 9.$

$R^2 = 9 + 0.0718 \cdot 9.$

$R^2 = 9 + 0.6459.$

$R^2 = 9.6459.$

$R \approx \sqrt{9.6459} \approx 3.104.$

Отже, довжина радіуса описаного кола приблизно дорівнює 3.104 см.