Question

MN и PQ - параллельные прямые. Из точки А прямой MN проведена к PQ наклонная AB и перпендикуляр AC. Точка D расположена на MN,и прямая BD пересекает отрезок AC в точке E. Доказать, что ED = 2AB, то угол DBC = 1/3 угла ABC.

Answer 1

AC⊥PQ, MN||PQ => AC⊥MN

AF - медиана в △EAD

AF=ED/2 =AB (медиана из прямого угла равна половине гипотенузы)

△BAF - равнобедренный, ∠ABD=∠AFB

△AFD - равнобедренный, углы при AD равны

∠AFB=2∠ADB (внешний угол равен сумме внутренних, не смежных с ним)

∠ADB=∠DBC (накрест лежащие при MN||PQ)

∠ABD=∠AFB=2∠ADB=2∠DBC

∠ABC=∠ABD+∠DBC =3∠DBC <=> ∠DBC=∠ABC/3

Answer 2

Для доказательства равенства ED = 2AB и соотношения углов DBC и ABC, мы воспользуемся свойствами параллельных прямых и их пересекающихся наклонных.

Обозначим угол ABC как α.

Шаг 1: Докажем, что ED = 2AB.

Сначала заметим, что треугольники ABD и CDE подобны друг другу, так как углы BDA и CED являются соответственными углами при параллельных прямых AB и CD. Из этой подобности следует:

AB / AD = DE / DC.

Теперь нам нужно выразить DC через AB и AD. Рассмотрим треугольник ABC:

AB / AC = BD / BC.

Но AC = AD + DC, и BC = BD, так как AB и PQ - параллельные прямые. Подставим это в предыдущее уравнение:

AB / (AD + DC) = BD / BD.

Теперь решим уравнение относительно DC:

DC = (AB * AD) / AB - AD.

Теперь вернемся к соотношению, связывающему подобные треугольники ABD и CDE:

AB / AD = DE / ((AB * AD) / AB - AD).

Теперь умножим обе стороны уравнения на (AB - AD):

AB * (AB - AD) = DE * AD.

Раскроем скобки:

AB^2 - AB * AD = DE * AD.

Теперь выразим DE:

DE = (AB^2 - AB * AD) / AD.

Теперь, заметим, что AB^2 - AB * AD = AB * (AB - AD) = AB * BD. Подставим это в предыдущее уравнение:

DE = (AB * BD) / AD.

Но BD = 2 * AB (потому что треугольники ABD и ABC подобны, и соответственные стороны имеют соотношение 1:2). Таким образом, получаем:

DE = (AB * 2 * AB) / AD = (2 * AB^2) / AD.

Теперь, чтобы доказать, что ED = 2AB, нам нужно показать, что (2 * AB^2) / AD = 2AB:

(2 * AB^2) / AD = 2AB.

Умножим обе стороны уравнения на AD:

2 * AB^2 = 2AB * AD.

Теперь поделим обе стороны на 2AB:

AB = AD.

Таким образом, мы доказали, что ED = 2AB.

Шаг 2: Докажем, что угол DBC равен 1/3 угла ABC.

Обратимся снова к треугольникам ABD и ABC. Поскольку эти треугольники подобны, соответственные углы у них равны. Таким образом, угол DBC равен углу BAD.

Но угол BAD является внутренним делителем угла ABC, так как AB и PQ - параллельные прямые. Мы уже знаем, что ED = 2AB, и поскольку угол DBC равен углу BAD, угол DBC делит угол ABC на три равные части.

Таким образом, угол DBC = 1/3 угла ABC. Это завершает доказательство.