Question

Точки M, N і K — середини ребер AB, АC і AD тетраедра DABC. Доведіть, що площини MNK і BCD паралельні.

Answer 1

З трикутника ACD: NK║CD;

З трикутника ABC: MN║BC;

MN∩NK і CD∩BC за умовою.

Тому за ознакою паралельності двох площин MNK║BCD.

Answer 2

Для того щоб довести, що площини MNK і BCD паралельні, давайте розглянемо дану ситуацію у тривимірному просторі.

Ми маємо тетраедр DABC з вершинами D, A, B і C. Точки M, N і K — середини ребер AB, AC і AD відповідно. Нехай P буде серединою ребра BC. Таким чином, ми маємо чотири точки M, N, K і P, які лежать на ребрах тетраедра DABC:

mathematicaCopy code
                  A
                 / \
                /   \
               /     \
              /_______\
             B   P    C
            / \       / \
           /   \     /   \
          /_____\   /_____\
         D       M N       K

Також, зауважте, що площина BCD містить ребро BC та середину P цього ребра.

Щоб довести паралельність площин MNK і BCD, досить показати, що векторні зв'язки між двома площинами однакові.

Оскільки M, N і K є серединами ребер AB, AC і AD відповідно, то можемо записати:

M = 1/2(A + B), N = 1/2(A + C), K = 1/2(A + D).

Тепер знаходимо вектори MN і MK:

MN = N - M = (1/2(A + C)) - (1/2(A + B)) = 1/2(C - B), MK = K - M = (1/2(A + D)) - (1/2(A + B)) = 1/2(D - B).

Також, знаходимо вектор BC:

BC = C - B.

Тепер, щоб довести паралельність площин MNK і BCD, ми маємо перевірити, чи є вектори MN і MK колінеарними з вектором BC. Це можна зробити, порівнявши їх дотні:

MN · BC = (1/2(C - B)) · (C - B) = 1/2(C - B) · (C - B) = 1/2|C - B|^2, MK · BC = (1/2(D - B)) · (C - B) = 1/2(D - B) · (C - B) = 1/2|D - B|^2.

Оскільки |C - B| і |D - B| є довжинами відповідних ребер тетраедра DABC, і вони однакові, оскільки B є серединою ребра BC, то ми маємо:

|C - B| = |D - B|.

Таким чином, MN · BC = MK · BC, що означає, що вектори MN і MK колінеарні з вектором BC.

Тепер ми знаємо, що вектори MN і MK колінеарні з вектором BC, а це означає, що площини MNK і BCD паралельні одна одній.

Таким чином, ми довели, що площини MNK і BCD паралельні.