Question

Через середини двох ребер основи і вершину тетраедра проведено пло- щину. Доведіть, що ця площина паралельна третьому ребру тетраедра.​

Answer 1

Через середины двух ребер основания и вершину тетраэдра проведена плоскость. Докажите, что эта плоскость параллельна третьем ребру тетраэдра.

Объяснение:  АВСО- тетраэдр.

Пусть в основании АВС на серединах сторон АВ и АС взяты точки М и К.

Тогда МК-средняя линия ΔАВС ⇒ по т о средней линии треугольника МК║ВС. Плоскость , проведенная через середины двух ребер основания и вершину тетраэдра , это плоскость (ОМК).

По признаку параллельности прямой и плоскости   : если прямая  ВС, не лежащая в плоскости, параллельна прямой МК, лежащей в этой плоскости, то она ВС параллельна данной плоскости (ОМК).

Answer 2

Для доведення того, що площина, проведена через середини двох ребер основи і вершину тетраедра, паралельна третьому ребру, можна скористатися властивостями серединного перпендикуляра та векторного добутку.

Нехай ABCD - тетраедр, де AB і AC - ребра основи, D - вершина, а AD - третє ребро.

1. Серединний перпендикуляр: - Позначимо середину ребра AB як M, а середину ребра AC - як N. - Оскільки M і N - серединні точки різних ребер, то вони також є серединними точками векторів AB і AC відповідно. - Таким чином, відомо, що вектори AM і AN є перпендикулярними векторам AB і AC відповідно.

2. Векторний добуток: - Позначимо вектори AB, AC і AD через \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) і \(\vec{w}\) відповідно. - Векторний добуток \(\vec{u} \times \vec{v}\) буде напрямлений вздовж вектора, який перпендикулярний площині, утвореній векторами \(\vec{u}\) і \(\vec{v}\).

3. Паралельність площин: - Оскільки AM і AN - серединні перпендикуляри до векторів AB і AC відповідно, то площина, яка проходить через M і N, паралельна площині, утвореній векторами \(\vec{u}\) і \(\vec{v}\). - Отже, площина, проходячи через M і N, паралельна основній площині тетраедра, утвореній векторами \(\vec{u}\) і \(\vec{v}\).

4. Третє ребро: - Оскільки D - вершина тетраедра, а AD - вектор третього ребра, то площина, утворена векторами \(\vec{u}\) і \(\vec{w}\), також паралельна третьому ребру AD.

Отже, ми довели, що площина, проведена через середини двох ребер основи і вершину тетраедра, паралельна третьому ребру тетраедра.