Question

ПОМОГИТЕ 100 БАЛЛОВ У циліндрі з основою радіусаR паралельно до його осі проведено пло­щину, яка перетинає нижню основу по хорді, яку видно із центра цієї основи під кутом 2α. Відрізок, який з'єднує центр верхньої основи циліндра з точкою кола нижньої основи, утворює з площиною основи кут β. Знайдіть площу перерізу.

Answer 1

OA=OA=R,<AOB=2α,<O1AO=β
По теореме косинусов найдем сторону сечения АА1В1В
AB²=AO²+BO²-2AO*BO*cos<AOB
AB²=R²+R²-2R²cos2α=2R²(1-cos2α)=2R²*2sin²α=4R²sin²α
AB=2Rsinα
tg<O1AO=OO1/AO
OO1=AO*tg<O1AO
OO1=Rtgβ
O1O=AA1
AA1=Rtgβ
AA1B1B-прямоугольник
S(AA1B1B)=AA1*AB
S=2Rsinα*Rtgβ=2R²sinαtgβ

Answer 2

Давайте розглянемо дану задачу. Позначимо циліндр так, що його верхню основу маємо коло радіуса R, а нижню основу перетнуто хордою під кутом 2α. Площа перерізу буде площею тієї частини нижньої основи, яку ми бачимо з центру цієї основи під кутом 2α.

1. Розглянемо круг, що утворюється на нижній основі циліндра через перетин з площиною. Відомо, що цей круг має радіус R (рівний радіусу верхньої основи циліндра).

2. З площиною перетину образується хорда на цьому кругу під кутом 2α. Половина цієї хорди (розглядаємо лише одну половину через симетрію) об'єднує центр верхньої основи циліндра і точку перетину круга з площиною.

3. Отже, в образі ця хорда становить діаметр круга. Також, позначимо цей радіус як R.

4. Тепер нам потрібно знайти кут β. Оскільки відрізок, який з'єднує центр верхньої основи циліндра з точкою перетину круга із площиною, утворює кут β з площиною основи, цей кут β є прямим кутом.

5. Отже, кут β = 90 градусів.

6. Тепер можемо знайти площу сегмента круга (область, обмежена хордою та аркою кола). Площа сегмента обчислюється за формулою:

\[ S_{\text{сегмента}} = \frac{1}{2} r^2 (\theta - \sin\theta), \]

де \( r \) - радіус круга (в даному випадку, \( R \)), а \( \theta \) - це центральний кут, відповідний хорді. У нашому випадку \( \theta = 2\alpha \).

\[ S_{\text{сегмента}} = \frac{1}{2} R^2 (2\alpha - \sin(2\alpha)). \]

Отже, площа перерізу циліндра буде подвійною площею сегмента круга, оскільки ми розглядаємо лише половину хорди.

\[ S_{\text{перерізу}} = R^2 (2\alpha - \sin(2\alpha)). \]

Це і є вираз для площі перерізу циліндра.