Question

В параллелограмме МKNZ диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольник ABCD, вершинами которого являются середины отрезков OM, OK, ON и OZ – параллелограмм.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

АВ, ВС, CD и AD - средние линии треугольников MOK, KON, NOZ и MOZ соответственно. Следовательно, АВ = МК/2, CD=NZ/2  =>

АВ║CD и AB = CD, так как MK = NZ (противоположные стороны параллелограмма).

По признаку: "Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм" четырехугольник АВСD - параллелограмм.

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нам нужно показать, что его противоположные стороны параллельны.

Обозначим точки следующим образом: M - середина отрезка ON, K - середина отрезка OZ, N - середина отрезка OM, Z - середина отрезка OK.

Также, пусть P - точка пересечения диагоналей MK и NZ (то есть точка О).

1. Докажем, что MN || BC. Так как M и N являются серединами сторон ON и OM соответственно, то по свойству параллелограмма МКОN: MN || OK. (1)

Теперь рассмотрим треугольники OKZ и OMN. Так как K и Z - середины сторон OZ и ON соответственно, то по свойству параллелограмма OZKN: MN || OZ. (2)

Из (1) и (2) следует, что MN || BC.

2. Докажем, что MK || AD. Аналогично, рассмотрим треугольники OMZ и ONK. Так как N и M - середины сторон OM и ON соответственно, то по свойству параллелограмма ОМКN: MK || ON. (3)

Также, так как K и Z - середины сторон OZ и OK соответственно, то по свойству параллелограмма OZKN: MK || OZ. (4)

Из (3) и (4) следует, что MK || AD.

Таким образом, мы доказали, что противоположные стороны MN и BC, а также MK и AD, параллельны. По определению параллелограмма это означает, что четырехугольник ABCD, вершинами которого являются середины отрезков OM, OK, ON и OZ, является параллелограммом.