Question

В параллелограмме МKNZ диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольник ABCD, вершинами которого являются середины отрезков OM, OK, ON и OZ – параллелограмм

Answer 1

BC средняя линия треугольника КОМ, значит ВС парал-на КN
AD средняя линия треугольника МОК, значит АD парал-на MZ
MZ парал-на KN, значит ВС парал-на АD
АВ средняя линия треугольника МОК, значит АВ парал-на МК

Answer 2

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD, вершинами которого являются середины отрезков OM, OK, ON и OZ, является параллелограммом, необходимо показать, что его противоположные стороны параллельны.

Обозначим точку пересечения диагоналей параллелограмма МKNZ как О.

1. Докажем, что OM и ON – это равные векторы.

Согласно свойствам параллелограмма, диагонали делятся пополам. Это означает, что вектор MO равен вектору ON, так как они оба являются диагоналями и делят друг друга пополам.

2. Докажем, что OK и OZ – это равные векторы.

Аналогично, согласно свойствам параллелограмма, диагонали делятся пополам. Это означает, что вектор KO равен вектору OZ, так как они оба являются диагоналями и делят друг друга пополам.

3. Докажем, что отрезки OM и OK параллельны.

Для этого нужно доказать, что векторы OM и OK коллинеарны. Векторы OM и OK имеют общую точку O и равные направления (так как они равны, как было показано выше). Значит, они коллинеарны и параллельны.

4. Докажем, что отрезки ON и OZ параллельны.

Аналогично, для этого нужно доказать, что векторы ON и OZ коллинеарны. Векторы ON и OZ имеют общую точку O и равные направления (так как они равны, как было показано выше). Значит, они коллинеарны и параллельны.

Таким образом, мы показали, что противоположные стороны четырехугольника ABCD (то есть стороны AB и CD, а также стороны BC и AD) параллельны. Это означает, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.