Question

Вокруг сферы радиуса R описана правильная треугольная пирамида. Вычислите наименьшее значение объёма такой пирамиды.

Answer 1

Для правильного тетраэдра известна формула:

Радиус вписанной сферы R =  a√6/12.

Отсюда сторона основания равна:

а = 12R/√6 = 2√6R.

Объём пирамиды V = a³√2/12.

Подставим значение стороны а:

V = (2√6R)³*√2/12 = (48√6R³)*√2/12 = 8√3R³.

Answer 2

Чтобы вычислить наименьшее значение объема правильной треугольной пирамиды, описанной вокруг сферы радиуса R, нужно рассмотреть грани этой пирамиды, которые образуют равносторонний треугольник. Для нахождения наименьшего объема пирамиды, мы должны сделать её как можно более плоской. Такая пирамида будет иметь высоту, равную радиусу сферы R.

Обозначим сторону равностороннего треугольника за "a" и высоту пирамиды за "h".

Мы знаем, что в равностороннем треугольнике все стороны равны, и углы равны 60 градусов. Также из геометрических соображений понятно, что высота треугольной пирамиды (h) равна радиусу описанной сферы (R).

Объем правильной треугольной пирамиды можно вычислить по формуле:

V = (1/3) * (площадь основания) * h

Площадь равностороннего треугольника можно вычислить по формуле:

Площадь основания = (a^2 * √3) / 4

Таким образом, объем пирамиды будет:

V = (1/3) * ((a^2 * √3) / 4) * R

Теперь мы хотим найти наименьшее значение этой функции объема, для этого продифференцируем её по "a" и найдем экстремум. Однако, так как у нас здесь нет ограничений на "a", а "R" постоянная, то производная равна нулю. Нам надо найти минимум функции, и чтобы это сделать, сосредоточимся на аргументе функции, который находится внутри квадратного корня.

Таким образом, чтобы найти наименьшее значение объема, мы должны минимизировать значение a^2 * √3.

Минимальное значение a^2 * √3 будет, когда a^2 минимально, а это произойдет, когда a = 0.

То есть, наименьшее значение объема пирамиды будет, когда сторона a треугольника равна нулю, что делает всю пирамиду плоской. В этом случае, её объем также будет равен нулю.

Таким образом, наименьшее значение объема правильной треугольной пирамиды, описанной вокруг сферы радиуса R, равно нулю.