Question

Через точку пересечения диагоналей квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что точки пересечения этих прямых со сторонами квадрата являются вершинами еще одного квадрата

Answer 1

Привет, чертеж и решение на фото,лови:

Answer 2

Для доказательства этого утверждения давайте рассмотрим квадрат и его диагонали более подробно.

Пусть у нас есть квадрат ABCD, и его диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Проведем две взаимно перпендикулярные прямые через точку O, обозначим их как l и m. Пусть l пересекает стороны квадрата в точках P и Q, а m пересекает стороны квадрата в точках R и S, как показано на рисунке ниже:

cssCopy code
         S
         |
         |
   Q-----O-----R
         |
         |
         P

Теперь докажем, что точки P, Q, R и S являются вершинами еще одного квадрата.

Шаг 1: Докажем, что OP = OQ = OR = OS. Для этого заметим, что точка O является центром квадрата, так как диагонали пересекаются в этой точке. А также заметим, что прямые l и m проходят через центр квадрата и пересекают его стороны на равном расстоянии от O (поскольку они взаимно перпендикулярны и проходят через центр). Поэтому OP = OQ и OR = OS.

Шаг 2: Докажем, что углы между сторонами квадрата и прямыми l и m также равны 90 градусов. Так как прямые l и m являются взаимно перпендикулярными, они образуют прямоугольник OPQR, и углы между сторонами этого прямоугольника равны 90 градусов.

Теперь мы убедились, что все условия для квадрата выполнены: стороны равны между собой и образуют прямые углы. Следовательно, точки P, Q, R и S действительно являются вершинами квадрата. Этот новый квадрат назовем A'B'C'D', как показано на рисунке ниже:

cssCopy code
         S
         |
         |   D'
   Q-----O-----R
   |             |
   |             |
   P----B'-----C'

Таким образом, мы доказали, что точки пересечения прямых l и m с сторонами квадрата ABCD являются вершинами еще одного квадрата A'B'C'D'.