Question

Докажите теорему Пифагора тремя различными способами! Внимание! Теорема должна быть доказана по курсу 8 класса

Answer 1

Ответ:

Формулировка теоремы: Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Известно более 100 различных способов доказательства этой теоремы, а по некоторым источникам - не менее 367.

3 способа, на мой взгляд, наиболее доступные восьмиклассникам, приведены в двух приложениях к этому вопросу.

Объяснение:

Answer 2

Конечно! Докажем теорему Пифагора тремя различными способами, каждый из которых подходит для уровня 8 класса.

1. Геометрическое доказательство:

Дано: Прямоугольный треугольник ABC, где угол C прямой (прямой угол), стороны a, b и c.

Мы знаем, что противоположные стороны прямоугольного треугольника образуют прямые углы, поэтому у нас есть два подобных прямоугольных треугольника: ABC и ADC.

В прямоугольном треугольнике ABC по теореме Пифагора: a^2 + b^2 = c^2. В прямоугольном треугольнике ADC: b^2 + d^2 = c^2.

Здесь d - это высота, опущенная из вершины C на гипотенузу AB.

Теперь у нас есть два уравнения для c^2. Поскольку они равны, мы можем записать:

a^2 + b^2 = b^2 + d^2. d^2 = a^2.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BCD. По теореме Пифагора:

b^2 = c^2 + d^2.

Заменяя d^2 на a^2, получаем:

b^2 = c^2 + a^2.

Это и есть теорема Пифагора.

2. Алгебраическое доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой c и катетами a и b.

Из теоремы Пифагора мы знаем:

a^2 + b^2 = c^2.

Мы также можем представить прямоугольный треугольник в виде двух прямоугольных треугольников ADE и CDE, где DE - высота, опущенная из вершины C на гипотенузу AB.

Таким образом, по теореме Пифагора для треугольников ADE и CDE:

a^2 + DE^2 = b^2, DE^2 + b^2 = c^2.

Теперь сложим оба уравнения:

a^2 + DE^2 + DE^2 + b^2 = b^2 + c^2.

DE^2 + DE^2 - b^2 = c^2 - a^2.

2(DE^2 - b^2) = c^2 - a^2.

DE^2 - b^2 = (c^2 - a^2)/2.

Так как DE^2 = a * b (площадь прямоугольного треугольника ABC), то мы можем записать:

a * b - b^2 = (c^2 - a^2)/2.

Теперь выразим b^2:

b^2 = a * b - (c^2 - a^2)/2.

Теперь, раскроем скобки:

b^2 = a * b - c^2/2 + a^2/2.

Теперь, выразим a * b через c^2 (используя a^2 + b^2 = c^2):

b^2 = c^2/2 + a^2/2 - c^2/2 + a^2/2.

b^2 = a^2.

Таким образом, мы получили тот же результат, что и в первом доказательстве, что b^2 = a^2, что и есть теорема Пифагора.

3. Доказательство с помощью подобия треугольников:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой c и катетами a и b.

Теперь нарисуем квадрат со стороной c и построим внутри него четыре копии прямоугольного треугольника ABC. Эти треугольники будут подобны исходному треугольнику ABC. Площадь квадрата будет равна сумме площадей всех четырех подобных треугольников.

Площадь квадрата = c^2. Площадь одного подобного треугольника ABC = (1/2) * a * b.

Таким образом, общая площадь четырех треугольников ABC будет равна:

4 * (1/2) * a * b = 2 * a * b.

Итак, у нас есть два выражения для площади квадрата:

c^2 = 2 * a * b.

Теперь, используя a^2 + b^2 = c^2 (теорема Пифагора), мы можем записать:

a^2 + b^2 = 2 * a * b.

Теперь, выразим b^2:

b^2 = 2 * a * b - a^2.

Теперь, выразим a * b через c^2 (используя a^2 + b^2 = c^2):

b^2 = c^2 - a^2.

Таким образом, мы снова получили тот же результат, что и в предыдущих доказательствах, что b^2 = a^2, что и есть теорема Пифагора.