Question

Пусть точка H - ортоцентр остроугольного треугольника ABC. Докажите, что если радиусы окружностей, вписанных в треугольники AHB, BHC, CHA, равны, то треугольник ABC - правильный.

Answer 1

Все эти треугольники имеют одну и ту же окружность Эйлера, а значит, у них одинаковые радиусы описанных окружностей. Раз равны и радиусы вписанных, то равны (по формуле Эйлера) и расстояния от центров вписанной и описанной окружностей для каждого треугольника. То есть эти треугольники AHB, BHC, CHA удовлетворяют теореме Понселе для заданной пары двух окружностей (одна описанная и одна вписанная).

То есть есть фиксированная пара вложенных окружностей, в которую можно поместить каждый из этих треугольников так, что большая окружность будет описанной, а меньшая - вписанной.

Для теоремы Понселе для треугольника легко доказать что, если у двух треугольников с ОБЩИМИ вписанной и описанной окружностями есть одинаковые стороны, то они равны (с точностью до симметрии).

(Если бы это было не так, то из леммы трезубца следовало бы, что центр вписанной окружности совпадает с центром описанной. )

Поэтому все три треугольника AHB, BHC, CHA равны между собой.

Я не очень боюсь выкладывать идею решения - по двум причинам. Во-первых, этот пост легко можно признать нарушением правил и удалить. Во-вторых, сама задача должна быть удалена согласно правилам сервиса.

Так что эта публикация не нарушает моего решения не выкладывать ответы на этом сервисе (до возврата к правилам 2012 года, когда я тут начинал что-то решать).

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, нам нужно воспользоваться свойствами остроугольных треугольников, ортоцентра и радиусов вписанных окружностей.

Дано, что треугольник ABC остроугольный, и H - его ортоцентр. Допустим, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники AHB, BHC и CHA, равны r.

Шаг 1: Докажем, что треугольник ABC равнобедренный.

Рассмотрим треугольник AHB. Он равнобедренный, так как радиусы окружности, вписанной в угол HAB, и окружности, вписанной в угол HBA, равны (так как радиусы вписанных окружностей в треугольниках AHB и BHC равны r). Это означает, что угол HAB равен углу HBA.

Точно так же можно показать, что углы HBC и HCB равны между собой.

Шаг 2: Докажем, что треугольник ABC равносторонний.

Из предыдущего шага мы знаем, что углы треугольника ABC равны между собой, а значит, он равнобедренный. Но поскольку он остроугольный, то все его углы равны и, следовательно, треугольник ABC - равносторонний.

Таким образом, мы доказали, что если радиусы окружностей, вписанных в треугольники AHB, BHC и CHA, равны, то треугольник ABC является правильным (равносторонним).