Question

Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 8√3 см. На ребре BB1 обозначили точку K так, что BK:KB1=3:5. Найти тангенс угла между плоскостями ABC и AKC, если расстояние между прямыми BC и A1C1 равно 16 см.

Answer 1

Правильная треугольная призма  ABCA₁B₁C₁  ⇒ в основании лежит равносторонний треугольник, а боковые ребра перпендикулярны основаниям.

Прямые ВС и А₁С₁ - скрещивающиеся. Расстояние между скрещивающимися прямыми измеряется по их общему перпендикуляру. Так как ВС⊥СС₁ и А₁С₁⊥СС₁  ⇒  СС₁=16 см ⇒

АА₁=ВВ₁=СС₁= 16 см

ВК : КВ₁ = 3:5  ⇒  3x+5x=16  ⇒   x=2

BK = 6 см;   KB₁ = 10 см

Проведём   BM⊥AC.  BM -  высота и медиана равностороннего ΔАВС.   AM = MC

$BM = BC\cdot \sin 60\textdegree = 8\sqrt 3 \cdot \dfrac{\sqrt3}2=12$ см

ΔABK=ΔCBK - равны по по двум катетам  ⇒  AK=KC  ⇒

ΔAKC -  равнобедренный, AM=MC ⇒  KM⊥AC

KM⊥AC  и  BM⊥AC  ⇒   ∠KMB - линейный угол двугранного угла между плоскостями ABC и AKC.

ΔKMB - прямоугольный,  ВK = 6 см,  ВМ = 12 см

tg ∠KMB = KB/BM = 6/12 = 0,5

Ответ: 0,5

Answer 2

..........................................

Answer 3

Для решения этой задачи нам понадобится использовать геометрические свойства треугольной призмы и правильного треугольника. Давайте разберемся шаг за шагом.

1. Найдем высоту правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 (высоту основания): Высота правильной треугольной призмы равна высоте равностороннего треугольника ABC. В равностороннем треугольнике высота проходит через вершину и делит его на два равносторонних треугольника. Таким образом, высота равностороннего треугольника ABC будет равна (8√3)/2 = 4√3 см.

2. Найдем расстояние между вершинами A и C основания правильной треугольной призмы: Так как треугольник ABC - равносторонний, то сторона AC равна 8√3 см.

3. Найдем расстояние между прямыми BC и A1C1: Дано, что расстояние между прямыми BC и A1C1 равно 16 см.

4. Найдем тангенс угла между плоскостью ABC и AKC: Обозначим угол между плоскостью ABC и AKC как α.

Для начала, найдем косинус угла α: cos α = (AC - A1C1) / AB (так как противоположные грани правильной призмы параллельны и AB является высотой призмы)

cos α = (8√3 - 16) / (8√3) = (8√3 - 16) / (8√3) = 1 - 2/√3.

Теперь найдем синус угла α, используя тождество sin^2 α + cos^2 α = 1: sin^2 α = 1 - cos^2 α sin^2 α = 1 - (1 - 2/√3)^2 sin^2 α = 1 - (1 - 4/3 + 4/3) sin^2 α = 4/3 - 4/3 sin^2 α = 0 sin α = 0

Таким образом, угол α равен 0 градусов, а его тангенс tan α = sin α / cos α = 0 / (1 - 2/√3) = 0.