Question

В параллелограмме ABCD диагональ BD перпендикулярна стороне CD, угол C=60* . Прямая, проходящая через точку O, параллельна AD и пересекает сторону CD в точке K. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если OK=6см.

Answer 1

Т.к. OK ║ AD, а AD ║ BC ⇒ OK ║ BC

Точка O - центр пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам ⇒ OK средняя линия ΔBCD.

BC = 2 * OK = 2 * 6 = 12 см

В прямоугольном ΔBCD ∠CBD = 90° - ∠BCD = 90° - 60° = 30°.

Против угла в 30° лежит половина гипотенузы ⇒ CD = BC / 2 = 12 / 2 = 6.

В прямоугольном ΔBCD по теореме Пифагора найдем:

$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{6*18}=6\sqrt{3}$

Площадь прямоугольного ΔBCD найдем как полупроизведение катетов:

$S_{BCD}=\frac{CD*BD}{2}=\frac{6\sqrt{3}*6}{2}=18\sqrt{3}$

Т.к. диагональ BD делит параллелограмм на два равных треугольника, то:

$S_{ABCD}=2*S_{BCD}=2*18*\sqrt{3}=36\sqrt{3}$

Ответ: площадь параллелограмма равна 36√3 см2

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами параллелограмма и треугольника.

Поскольку диагональ BD перпендикулярна стороне CD, а угол C равен 60 градусов, то треугольник BCD является прямоугольным треугольником. Также, учитывая, что прямая, проходящая через O, параллельна AD, и треугольник AOK тоже прямоугольный, так как угол O равен 90 градусов.

Теперь найдем высоту треугольника BCD, проведенную из вершины B. По определению, это будет отрезок, перпендикулярный к стороне BC и проходящий через точку D. Обозначим эту высоту как h. Тогда:

tan(60°) = h/BC √3 = h/BC h = BC * √3

Также у нас есть информация, что OK = 6 см, и прямоугольный треугольник AOK, где угол O = 90 градусов. Зная OK и угол, мы можем найти AK:

tan(90°) = AK/OK AK = tan(90°) * OK AK = 0 * 6 = 0 см

Теперь мы знаем длины сторон параллелограмма: BC = h/√3 и AD = AK + DK = 0 + DK = DK. Осталось найти площадь параллелограмма ABCD:

Площадь = BC * DK Площадь = (h/√3) * DK Площадь = (√3 * DK/√3) * DK Площадь = DK^2

Мы знаем, что OK = 6 см, и прямоугольный треугольник AOK, где угол O = 90 градусов. По теореме Пифагора:

OK^2 + AK^2 = AO^2 6^2 + 0^2 = AO^2 36 + 0 = AO^2 AO = √36 AO = 6 см

Таким образом, DK = DC - CK = DC - OK = DC - 6.

Теперь, чтобы найти площадь параллелограмма ABCD, нам нужно выразить DK через одну из сторон параллелограмма, например, через DC. Для этого обратим внимание на треугольник BCD:

tan(60°) = h/BC √3 = h/BC h = BC * √3

Теперь заметим, что DK = DC - CK, а CK = OK = 6 см. Таким образом:

DK = DC - 6

Мы также знаем, что площадь параллелограмма ABCD равна DK^2, поэтому:

Площадь = DK^2 = (DC - 6)^2 = DC^2 - 12DC + 36

Теперь осталось выразить DC через сторону BC. Рассмотрим треугольник BCD и вспомним, что угол C равен 60 градусов. Таким образом:

sin(60°) = h/BC √3/2 = (√3 * BC)/BC √3/2 = √3

Теперь можем выразить BC через h:

BC = h/√3 = (√3/2) / (√3) = 1/2

Теперь у нас есть DC = 2 * BC = 2 * (1/2) = 1 см.

Таким образом, площадь параллелограмма ABCD равна:

Площадь = DC^2 - 12DC + 36 = 1^2 - 12 * 1 + 36 = 1 - 12 + 36 = 25 см².