Question

Окружность , построенное на большем основании трапеции, как на диаметре , касается меньшего основания и проходит через концы средней линии . Найти углы трапеции.

Answer 1

https://online-tusa.com/tasks/15546_1_4_0

Окружность , построенное на большем основании трапеции, как на диаметре , касается меньшего основания и проходит через концы средней линии . Найти углы трапеции.

Answer 2

Для решения этой задачи давайте обозначим следующие величины:

Пусть ABCD - трапеция, где AB и CD - основания, а BC и AD - боковые стороны. Пусть O - центр окружности, построенной на большем основании AB. Пусть E - точка касания этой окружности с меньшим основанием CD. Пусть M - середина отрезка AD, то есть средняя линия трапеции.

Так как окружность построена на большем основании AB и имеет диаметр, равный AB, то точка O - середина AB. То есть, AO = BO.

Также, так как окружность касается меньшего основания CD, то точка E - точка касания окружности с CD.

Также, так как окружность проходит через концы средней линии M, то AM = MD.

Теперь давайте рассмотрим треугольник AOE. Он является прямоугольным треугольником, так как O - центр окружности, и AO = BO. Также, OE - это радиус окружности, а значит, OE = AO.

Теперь давайте рассмотрим треугольник AEM. Он является равнобедренным, так как AM = ME. Из прямоугольного треугольника AOE мы уже знаем, что AE = AO.

Теперь, чтобы найти углы трапеции, давайте обратимся к треугольнику AED. Так как это равнобедренный треугольник (AE = ED), то углы при основании AD равны.

Итак, у нас есть равные углы при основании AD трапеции ABCD. Обозначим этот угол через x.

Теперь, чтобы найти углы при основании BC, давайте рассмотрим треугольник BCE. Так как AM = ME, то углы при основании BC также равны x.

Таким образом, углы трапеции ABCD равны: ∠BAD = ∠ADC = x ∠ABC = ∠BCD = x

Отметим, что сумма углов трапеции равна 360°. Так как у трапеции два параллельных основания, то противоположные углы трапеции также равны. Из этого следует, что 2x + 2x = 360°.

4x = 360°

x = 90°

Таким образом, каждый угол трапеции ABCD равен 90°.