Question

Через все вершины треугольника АВС проведены прямые, параллельные противоположным сторонам. При пересечении этих трёх прямых образуется треугольник. Докажите. что каждая из сторон нового треугольника в 2 раза больше параллельной ей стороны треугольника АВС. P S желательно с рисунком!

Answer 1

Т.к. AB║CA1 и AC║BA1 ⇒ ABA1C - параллелограмм ⇒ AB = CA1

Т.к. AB║B1C и CB║BA1 ⇒ ABCB1 - параллелограмм ⇒ AB = B1C

⇒AB = A1B1/2

Аналогично с другими сторонами

Answer 2

Для начала обозначим точки, как показано на рисунке:

cssCopy code
  A
  /\
 /  \
/    \

a/______\b B C

Где a, b - стороны треугольника ABC.

Теперь проведем прямые, параллельные сторонам треугольника ABC, через все его вершины:

bashCopy code
  A
  /\
 /  \
/____\

/ \ /
//
B X C

Треугольник, образованный при пересечении этих прямых, обозначим как AXB:

cssCopy code
  A
  /\
 /  \

a/\a / \XB/
//
B X C

Нам нужно доказать, что сторона XB нового треугольника AXB равна удвоенной стороне AB и аналогично для других сторон.

Для начала обратим внимание на две параллельные прямые: AX и BC. Из теории пропорций параллельных прямых, мы знаем, что соответственные отрезки на параллельных прямых пропорциональны. Таким образом, отношение длины AX к длине AB равно отношению длины AXB к длине AC:

AX / AB = AXB / AC

Теперь мы знаем, что AXB = 2 * AX (по построению, прямые через вершины А и В параллельны противоположным сторонам треугольника ABC, поэтому AXB составляет половину длины AC).

Подставим это значение в уравнение:

AX / AB = 2 * AX / AC

Теперь можем решить уравнение относительно стороны XB:

XB = AB * (2 * AX / AX)

XB = 2 * AB

Таким образом, сторона XB нового треугольника AXB равна удвоенной стороне AB. Аналогичные рассуждения применимы для сторон AX и AB.

Полученные выводы показывают, что каждая из сторон нового треугольника AXB в два раза больше соответствующей параллельной стороны треугольника ABC.