Question

Периметр правильного n-угольника равен P, а сторона аn. Радиус окружности, описанного около этого n-угольника, равен R, а радиус окружнасти, вписанной в него,равен r. Найдите неизвестные элементы многоугольника по следующим данным: n=4 R=3√2см.

Answer 1

Поскольку n=4, это квадрат, диагональ квадрата равна 2R   и  а√2 через сторону квадрата. Поскольку R=3√2  и 2R=а√2 Отсюда а=6

r для квадрата равен а/2 ⇒  r=6/2=3

Answer 2

Для правильного n-угольника с периметром P и стороной a_n, радиус описанной окружности R и радиус вписанной окружности r связаны следующими формулами:

1. Периметр правильного n-угольника: P = n * a_n

2. Радиус описанной окружности: R = a_n / (2 * sin(π/n))

3. Радиус вписанной окружности: r = a_n / (2 * tan(π/n))

Для данного примера, когда n = 4 и R = 3√2 см, нужно найти сторону a_n и радиус вписанной окружности r.

1. Найдем сторону a_n: Известно, что R = 3√2 см. Из формулы для радиуса описанной окружности: R = a_n / (2 * sin(π/n))

   Подставим известные значения и решим уравнение относительно a_n: 3√2 = a_n / (2 * sin(π/4)) 3√2 = a_n / (2 * 1/√2) 3√2 = a_n / √2

   Умножим обе стороны на √2: a_n = 3√2 * √2 a_n = 3 * 2 a_n = 6 см

Таким образом, сторона правильного четырехугольника a_n равна 6 см.

2. Теперь найдем радиус вписанной окружности r: Используем формулу: r = a_n / (2 * tan(π/n))

   Подставим известные значения и решим уравнение относительно r: r = 6 / (2 * tan(π/4)) r = 6 / (2 * 1) r = 6 / 2 r = 3 см

Таким образом, радиус вписанной в четырехугольник окружности r равен 3 см.